 |
A B. 5241. feladat (2022. április) |
B. 5241. Az ABC háromszögben ABC∢>90∘, a körülírt kör középpontja O. A körülírt körhöz C-ben húzott érintő az AB egyenest a P pontban, a P-ből BC-re állított merőleges pedig az OC egyenest Q-ban metszi. Igazoljuk, hogy AB merőleges AQ-ra.
Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az ABC háromszög két hegyesszöge a szokásos jelölésekkel α és γ, a BC oldalra a P pontból állított merőleges talppontja T, továbbá QCA∢=φ, az ábra szerint.
A szögek kiszámításával megmutatjuk, hogy a QCA∢ és QPA∢ szögek ugyanakkorák.
A PCB∢ szög az ABC háromszög körülírt körének BC húrjához tartozó érintő szárú kerületi szög, tehát egyenlő nagyságú az A csúcsnál levő belső szöggel, azaz PCB∢=α. Az ABC háromszög tompaszögű, a két hegyesszög összege kisebb 90∘-nál, ezért φ=QCA∢=OCA∢=90−α−γ.
Az ABC háromszög B csúcshoz tartozó külső szöge α+γ, emiatt a BTP derékszögű háromszög másik hegyesszöge TPB∢=QPA∢=90∘−α−γ.
A szögek előbbi kiszámításával megmutattuk, hogy a QA szakasz a C és P pontokból φ=90∘−α−γ szögben látszik, más szóval a QAPC négyszög húrnégyszög. E húrnégyszögnek C-nél a feltétel szerint derékszöge van, tehát a szemközti szög, a BAQ∢ szintén derékszög.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 51 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai
|
|