 |
A B. 5241. feladat (2022. április) |
B. 5241. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle > 90^\circ\), a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\). A körülírt körhöz \(\displaystyle C\)-ben húzott érintő az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban, a \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle BC\)-re állított merőleges pedig az \(\displaystyle OC\) egyenest \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AB\) merőleges \(\displaystyle AQ\)-ra.
Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög két hegyesszöge a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \gamma\), a \(\displaystyle BC\) oldalra a \(\displaystyle P\) pontból állított merőleges talppontja \(\displaystyle T\), továbbá \(\displaystyle QCA\sphericalangle=\varphi\), az ábra szerint.
A szögek kiszámításával megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle QCA\sphericalangle\) és \(\displaystyle QPA\sphericalangle\) szögek ugyanakkorák.
A \(\displaystyle PCB\sphericalangle\) szög az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének \(\displaystyle BC\) húrjához tartozó érintő szárú kerületi szög, tehát egyenlő nagyságú az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő belső szöggel, azaz \(\displaystyle PCB\sphericalangle=\alpha\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög tompaszögű, a két hegyesszög összege kisebb \(\displaystyle 90^\circ\)-nál, ezért \(\displaystyle \varphi=QCA\sphericalangle=OCA\sphericalangle=90-\alpha-\gamma\).
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\) csúcshoz tartozó külső szöge \(\displaystyle \alpha+\gamma\), emiatt a \(\displaystyle BTP\) derékszögű háromszög másik hegyesszöge \(\displaystyle TPB\sphericalangle=QPA\sphericalangle=90^\circ-\alpha-\gamma\).
A szögek előbbi kiszámításával megmutattuk, hogy a \(\displaystyle QA\) szakasz a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle P\) pontokból \(\displaystyle \varphi=90^\circ-\alpha-\gamma\) szögben látszik, más szóval a \(\displaystyle QAPC\) négyszög húrnégyszög. E húrnégyszögnek \(\displaystyle C\)-nél a feltétel szerint derékszöge van, tehát a szemközti szög, a \(\displaystyle BAQ\sphericalangle\) szintén derékszög.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 51 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai