A B. 5247. feladat (2022. május)

B. 5247. Egy kötél két végpontját a talajhoz rögzítettük úgy, hogy a két végpont távolsága kisebb a kötél hosszánál. A kötél középső pontját 150 cm magasságra felemelve a kötél megfeszül. A kötél egyik végétől 90 cm-re lévő pontját felemelve a kötél 90 cm magasan feszül meg. Milyen hosszú a kötél?

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kötél kétféle megfeszített helyzetét az alábbi ábrán szemléltetjük.

Legyen az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) rögzítési pontok távolsága \(\displaystyle 2d\), a kötél hossza \(\displaystyle 2x\). A távolságokat cm-ekben számoljuk. A kötél felezőpontja \(\displaystyle C\), az \(\displaystyle A\) ponttól 90 cm-re levő ,,feszítő" kötélpont pedig \(\displaystyle D\). A \(\displaystyle BC\) szakasz hossza \(\displaystyle x\) cm, míg a \(\displaystyle DB\) szakasz hossza \(\displaystyle 2x-90\) cm. Most írjuk fel a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle BTC\) és \(\displaystyle BAD\) derékszögű háromszögekre:

\(\displaystyle x^2=d^2+150^2,\)

\(\displaystyle (2x-90)^2=(2d)^2+90^2.\)

A második egyenletből kivonva az első négyszeresét:

\(\displaystyle 4x^2-360x+8100-4x^2=4d^2+8100-4d^2-90\,000,\)

ahonnan egyszerűsítés és rendezés után:

\(\displaystyle 360x=90000,\)

\(\displaystyle 2x=500.\)

A kötél 5 m hosszúságú.

Statisztika:

73 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Andai Márk, Bencz Benedek, Borsos Balázs, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Czipó Áron, Dienes Ervin Fotisz, Diószeghy Erzsébet, Erdélyi Kata, Foris Dávid, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Han Ziying, Jeviczki Soma Balázs, Koltai Csaba Ferenc, Kovács Benedek Noel, Kurucz Kitti, Márkus Liza, Máthé Gergely, Molnár Ábel, Molnár Dóra, Molnár Péter, Móricz Benjámin, Nádor Artúr, Nagy 292 Korina, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Petrányi Lilla, Richlik Bence, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szalontai Júlia, Szittyai Anna, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Wiener Anna.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai