 |
A B. 5248. feladat (2022. május) |
B. 5248. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:
$$\begin{align*} \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y & =\frac{8}{xy},\\ x(x+1)+y(y+1) & =6. \end{align*}$$(4 pont)
A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletrendszer akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egyike sem 0. Ha \(\displaystyle xy\ne0\), akkor az első egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk azt \(\displaystyle xy\)-nal szorozva:
\(\displaystyle x^3+y^3+x^2y+xy^2=8.\)
Bevezetve az \(\displaystyle a=x+y\) és \(\displaystyle b=x^2+y^2\) változókat ez az egyenlet
\(\displaystyle ab=8\)
alakban írható. A második egyenlet az új változókkal:
\(\displaystyle a+b=6.\)
Így \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) a \(\displaystyle (z-a)(z-b)=z^2-6z+8\) egyenlet két gyöke: vagy \(\displaystyle a=4\) és \(\displaystyle b=2\) vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=4\). Mivel \(\displaystyle 0\leq (x-y)^2=2b-a^2\), ezért \(\displaystyle a^2\leq 2b\), ami csak a második esetben teljesül, \(\displaystyle a=4,\ b=2\) nem lehetséges. Ha \(\displaystyle a=2,\ b=4\), akkor \(\displaystyle 0=a^2-b=2xy\) alapján \(\displaystyle xy=0\), azonban \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egyike sem lehet 0, így itt sem kapunk megoldást.
Tehát az egyenletrendszernek nincsen megoldása.
Statisztika:
78 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 61 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai