A B. 5248. feladat (2022. május)

B. 5248. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletrendszer akkor értelmes, ha $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ egyike sem 0. Ha $\displaystyle xy\ne0$, akkor az első egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk azt $\displaystyle xy$-nal szorozva:

$\displaystyle x^3+y^3+x^2y+xy^2=8.$

Bevezetve az $\displaystyle a=x+y$ és $\displaystyle b=x^2+y^2$ változókat ez az egyenlet

$\displaystyle ab=8$

alakban írható. A második egyenlet az új változókkal:

$\displaystyle a+b=6.$

Így $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ a $\displaystyle (z-a)(z-b)=z^2-6z+8$ egyenlet két gyöke: vagy $\displaystyle a=4$ és $\displaystyle b=2$ vagy $\displaystyle a=2$ és $\displaystyle b=4$. Mivel $\displaystyle 0\leq (x-y)^2=2b-a^2$, ezért $\displaystyle a^2\leq 2b$, ami csak a második esetben teljesül, $\displaystyle a=4,\ b=2$ nem lehetséges. Ha $\displaystyle a=2,\ b=4$, akkor $\displaystyle 0=a^2-b=2xy$ alapján $\displaystyle xy=0$, azonban $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ egyike sem lehet 0, így itt sem kapunk megoldást.

Tehát az egyenletrendszernek nincsen megoldása.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai