A B. 5252. feladat (2022. május)

B. 5252. Adott egy hat csúcsú $\displaystyle ABCA_1B_1C_1$ poliéder, amelynek $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle A_1B_1C_1$ két háromszöglapja, továbbá az $\displaystyle AA_1$, $\displaystyle BB_1$ és $\displaystyle CC_1$ élei párhuzamosak. Az $\displaystyle AA_1B_1B$, $\displaystyle BB_1C_1C$ és $\displaystyle CC_1A_1A$ trapézlapok átlóinak metszéspontjai $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle ABCPQR$ és $\displaystyle A_1B_1C_1PQR$ poliéderek térfogata meg­egyezik.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Előrebocsájtunk egy jól ismert segédállítást.

Segédállítás. Legyen a $\displaystyle KLMN$ trapéz átlóinak metszéspontja $\displaystyle X$, a $\displaystyle KL$ és $\displaystyle MN$ alapjainak felezőpontjai $\displaystyle Y$ és $\displaystyle Z$. Ekkor $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$ és $\displaystyle Z$ kollineárisak, továbbá a $\displaystyle KNX$ és $\displaystyle LMX$ háromszögek területe egyenlő.

A segédállítás első fele azonnal következik abból a tényből, hogy az $\displaystyle X$ középpontú, $\displaystyle \lambda=-KL/MN$ arányú centrális hasonlóság $\displaystyle N$-t $\displaystyle L$-be, $\displaystyle M$-t $\displaystyle K$-ba, s így $\displaystyle Z$-t $\displaystyle Y$-ba viszi. Az állítás második részénél az egyenlő területű $\displaystyle KLM$ és $\displaystyle KLN$ háromszögekből hagyjuk el a $\displaystyle KLX$ háromszöget. A részleteket az olvasóra bízzuk.

Ezután rátérünk a feladatunk megoldására. Legyenek az $\displaystyle AA_1$, $\displaystyle BB_1$ és $\displaystyle CC_1$ élek felezőpontjai rendre $\displaystyle F_A$, $\displaystyle F_B$ és $\displaystyle F_C$. A segédállításunk szerint a $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$ pontok illeszkednek az $\displaystyle F_AF_BF_C$ háromszög egy-egy oldalára, másképp fogalmazva a $\displaystyle PQR$ sík az $\displaystyle AA_1$, $\displaystyle BB_1$ és $\displaystyle CC_1$ szakaszokat felezi, következésképp pl. az $\displaystyle A$ és $\displaystyle A_1$ pontok távolsága a $\displaystyle PQR$ síktól egyenlő.

Szét fogjuk darabolni a szóban forgó poliédereket négy-négy tetraéderre, amelyek térfogatai páronként megegyeznek, ebből az állítás következik. Először vágjuk ketté $\displaystyle ABCPQR$ poliédert a $\displaystyle B_1AC$ síkkal, így a $\displaystyle BQPAC$ és $\displaystyle RACQP$ testekre esik szét. Mindkettő egy négyszög alapú gúla, közös alaplapjuk a $\displaystyle PQCA$ négyszög. Ezután $\displaystyle BQPAC$-t a $\displaystyle BQA$ síkkal, $\displaystyle RACQP$-t pedig az $\displaystyle RQA$ síkkal daraboljuk tovább. (Ez a két daraboló sík természetesen egybeesik, de erre a tényre nincs szükségünk.) Így végül négy tetraédert kaptunk: $\displaystyle AQPB$, $\displaystyle AQCB$, $\displaystyle ACQR$ és $\displaystyle PQRA$. Analóg módon látható, hogy az $\displaystyle A_1B_1C_1PQR$ poliéder az $\displaystyle A_1QPB_1$, $\displaystyle A_1QC_1B_1$, $\displaystyle A_1C_1QR$ és $\displaystyle PQRA_1$ tetraéderekre darabolható szét.

Végül megmutatjuk, hogy az egymásnak megfelelő tetraéderek térfogatai egymással rendre egyenlőek. Az $\displaystyle AQPB$ és $\displaystyle A_1QPB_1$ tetraéderek térfogata egyenlő, mert a segédállítás szerint az $\displaystyle APB$ és $\displaystyle A_1PB_1$ lapjaik területe megegyezik, s mivel ezen lapok egy síkra illeszkednek, így $\displaystyle Q$-ból induló magasságaik is egyenlőek.

Hasonlóan, az $\displaystyle AQRC$ és $\displaystyle A_1QRC_1$ tetraéderek térfogata egyenlő, mert az $\displaystyle ARC$ és $\displaystyle A_1RC_1$ lapjaik területe megegyezik, s egy síkba esnek.

Az $\displaystyle AQCB$ és $\displaystyle A_1QC_1B_1$ tetraéderek térfogata egyenlő, mert ismét a segédállítás szerint a $\displaystyle BCQ$ és $\displaystyle B_1C_1Q$ lapok egyenlő területűek, és síkjuktól az $\displaystyle A$, ill. $\displaystyle A_1$ csúcsok egyenlő távolságra vannak, mert az $\displaystyle AA_1$ egyenes párhuzamos a $\displaystyle BCB_1C_1$ síkkal.

A $\displaystyle PQRA$ és $\displaystyle PQRA_1$ tetraéderek térfogatának egyenlősége pedig egyszerűen következik abból, hogy közös $\displaystyle PQR$ lapjuknak síkjától az $\displaystyle A$ és $\displaystyle A_1$ pontok egyforma távolságra vannak előrebocsájtott észrevételünk szerint.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzés. Miután észrevettük, hogy a $\displaystyle PQR$ sík felezi az $\displaystyle AA_1$, $\displaystyle BB_1$ és $\displaystyle CC_1$ éleket, gyorsabban is befejezhetjük a bizonyítást. Alkalmazzunk egy affinitást, ami mellett $\displaystyle AA_1$ képe merőleges $\displaystyle PQR$ sík képére. Mivel az affinitás tartja az osztási arányt, így a transzformált kép szimmetrikus lesz a $\displaystyle P'Q'R'$ síkra, amely esetben a térfogatok egyenlősége nyilvánvaló. Mivel az affinitás tartja a térfogatok arányát, így az állítás következik.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Chrobák Gergő, Diaconescu Tashi, Kalocsai Zoltán, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Nguyen Kim Dorka, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek.
4 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai