A B. 5265. feladat (2022. október)

B. 5265. Nagyítsuk kétszeresére egy derékszögű háromszög beírt körét a derékszögű csúcsból. Mutassuk meg, hogy a kapott kör érinti a háromszög körülírt körét.

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

1. megoldás A kompakt leírás kedvéért helyezzük el a derékszögű háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy $\displaystyle C$ derékszögű csúcsa az origóba essen, továbbá $\displaystyle A(a,0)$ és $\displaystyle B(0,b)$, ahol $\displaystyle a,b>0$ a háromszög befogói. Használjuk az ábra jelöléseit!

A $\displaystyle CEIF$ négyszög egyszerre deltoid és téglalap, ezért négyzet. Oldala egyrészről a beírt kör $\displaystyle r$ sugara, másrészről a $\displaystyle C$ csúcsból a beírt körhöz húzott érintőszakasz $\displaystyle z$, amelyről jól ismert, hogy $\displaystyle z=s-c=(a+b-c)/2$. Ebből következik, hogy $\displaystyle r=(a+b-c)/2$, valamint az $\displaystyle I$ pont koordinátáit is megkaptuk. Világos, hogy a kétszeres nagyítás után kapott kör sugarára $\displaystyle r'=2r=a+b-c$, középontjára $\displaystyle I'(a+b-c,a+b-c)$ teljesül.

Az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja, azaz az $\displaystyle O(a/2,b/2)$ pont, sugara pedig az átfogó fele, $\displaystyle R=c/2$. A feladat állítása következik, ha megmutatjuk, hogy $\displaystyle R=r'+OI'$, amivel ekvivalens $\displaystyle OI'^2=(R-r')^2$. (A sugáregyenlőtlenség szerint $\displaystyle r'<R$.)

$\displaystyle OI'^2$ felírható a Pitagorasz-tétel (vagy ha úgy tetszik, a távolságformula) segítségével:

$\displaystyle OI'^2=\left ((a+b-c)-\frac a2\right )^2+\left ((a+b-c)-\frac b2 \right)^2.$

Elegendő tehát belátnunk, hogy

$\displaystyle \left ((a+b-c)-\frac a2\right )^2+\left ((a+b-c)-\frac b2 \right)^2=\left (\frac c2-(a+b-c)\right )^2.$

A négyzetreemeléseket elvégezve, és a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle ABC$ háromszögre felhasználva ez könnyen ellenőrizhető, hogy teljesül. Ezzel az állítást beláttuk.

2. megoldás A derékszögű háromszög magasságpontja a háromszög derékszögű csúcsa. Ismert, hogy a magasságpontból a körülírt kört felére kicsinyítve a háromszög Feuerbach-körét kapjuk. A Feuerbach-tétel szerint a Feuerbach-kör érinti a beírt kört, amiből a feladat állítása azonnal következik.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai