A B. 5273. feladat (2022. november)

B. 5273. Kijelöljük az $\displaystyle ABC$ egyenlő oldalú háromszög $\displaystyle AB$ oldalán a $\displaystyle D$, a $\displaystyle BC$ oldalán pedig az $\displaystyle E$ pontot úgy, hogy $\displaystyle BCD\sphericalangle=45^\circ$ és $\displaystyle CDE\sphericalangle=30^\circ$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle BE=2AD$.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Forgassuk el a $\displaystyle CAD$ háromszöget a $\displaystyle C$ csúcs körül $\displaystyle 60^\circ$-kal úgy, hogy az $\displaystyle A$ pont a $\displaystyle B$ csúcsba kerüljön. Legyen a $\displaystyle D$ pont elforgatottja a $\displaystyle D'$ pont.

A $\displaystyle 60^\circ$ forgatás alapján a $\displaystyle DCD'$ háromszög szabályos, vagyis $\displaystyle D'DC\sphericalangle=60^\circ$. A feltételben szereplő $\displaystyle DCB\sphericalangle=45^\circ$ miatt azonnal adódik, hogy $\displaystyle BCD'\sphericalangle=15^\circ$. A feladat másik feltétele alapján azt is tudjuk, hogy $\displaystyle CDE\sphericalangle=30^\circ$. Így az $\displaystyle E$ pont a $\displaystyle CDD'$ szabályos háromszög belső szögfelezőjére és ezzel együtt a $\displaystyle D'C$ oldal felezőmerőlegesére illeszkedik. Az $\displaystyle E$ pont egyenlő távolságra van a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D'$ pontoktól, a $\displaystyle CED'$ háromszög egyenlő szárú, $\displaystyle E$-nél fekvő külső szöge $\displaystyle BED'\sphericalangle=30^\circ$. Most tekintsük a $\displaystyle BD'E$ háromszöget. Ennek $\displaystyle B$-nél fekvő szöge $\displaystyle 60^\circ$, mivel $\displaystyle DAC\sphericalangle$ elforgatottja, amely pedig az eredeti szabályos háromszög egyik szöge. Szintén a forgatás alapján $\displaystyle BD'=AD$. A $\displaystyle BED'$ háromszögnek $\displaystyle B$-nél $\displaystyle 60^\circ$-os, $\displaystyle E$-nél $\displaystyle 30^\circ$-os szöge van, ez egy fél szabályos háromszög. Emiatt $\displaystyle BE=2\cdot BD'=2\cdot AD$.

2. megoldás. A feladat trigonometriai eszközökkel is megoldható. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög oldala egységnyi. Az $\displaystyle ADC$ háromszögben alkalmazzuk a szinusztételt és használjuk fel, hogy $\displaystyle \sin 105^\circ=\sin 75^\circ$.

$\displaystyle \frac{AD}{AC}=\frac{\sin 15^\circ}{\sin 75^\circ}~~\Longrightarrow~~AD=\frac{\sin 15^\circ}{\sin 75^\circ}=\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}=\text{tg} 15^\circ.$

Ugyanebből a háromszögből

$\displaystyle \frac{CD}{AC}=\frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}~~\Longrightarrow~~CD=\frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}.$

A következő lépésben az $\displaystyle ECD$ háromszögre írjuk fel a szinusztételt:

$\displaystyle \frac{EC}{CD}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}~~\Longrightarrow~~EC=CD\frac{\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}=\frac{\sin 60^\circ\cdot \sin 30^\circ}{\sin^2 75^\circ}.$

A továbbiakban az addíciós tételek és a nevezetes szögek szögfüggvényei segítségével:

$\displaystyle AD=\text{tg} 15^\circ=\text{tg} (60^\circ-45^\circ)=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3},$

$\displaystyle EC=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)\right)^2}= \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{8}(4+2\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}.$

Végül az $\displaystyle EB$ kiszámítása:

$\displaystyle EB=1-EC=1-\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=2(2-\sqrt{3})=2\cdot AD.$

Statisztika:

156 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	118 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai