 |
A B. 5274. feladat (2022. november) |
B. 5274. Az \(\displaystyle a<b\) pozitív egészek szorzata négyzetszám. Mutassuk meg, hogy van olyan \(\displaystyle x\) pozitív egész, amelyre \(\displaystyle a\le x^2\le b\).
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle d\) az \(\displaystyle a\) szám négyzetmentes része, vagyis azoknak a prímeknek a szorzata, melyek \(\displaystyle a\) prímtényezős felbontásában páratlan kitevővel szerepelnek. Így egyrészt \(\displaystyle a/d\) négyzetszám, legyen \(\displaystyle a=dA^2\) (ahol \(\displaystyle A\) pozitív egész), másrészt mivel \(\displaystyle ab\) négyzetszám, ezért \(\displaystyle b\) négyzetmentes része szintén \(\displaystyle d\), vagyis \(\displaystyle b=dB^2\) alakú (ahol \(\displaystyle B\) pozitív egész).
Ha az \(\displaystyle [a,b]\) zárt intervallumba a feladat állításával ellentétben nem esne négyzetszám, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) két szomszédos négyzetszám közé esne, vagyis valamely \(\displaystyle n\) pozitív egész számra
\(\displaystyle n^2<a<b<(n+1)^2\)
lenne. Ekkor azonban
\(\displaystyle \frac{(n+1)^2}{n^2}>\frac{b}{a}=\frac{dB^2}{dA^2}=\frac{B^2}{A^2} \)
következne, amiből
\(\displaystyle \frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}.\)
Azonban
\(\displaystyle 1+\frac1n=\frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}\geq 1+\frac{1}{A}\)
alapján kapnánk, hogy \(\displaystyle n<A\), viszont \(\displaystyle dA^2=a<(n+1)^2\) miatt \(\displaystyle A<n+1\), vagyis ellentmondáshoz jutottunk. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. A megoldás második fele kicsit másképpen:
Elegendő megmutatni, hogy \(\displaystyle [\sqrt a]<[\sqrt{b}]\), ugyanis ekkor \(\displaystyle x=[\sqrt{b}]\) választással \(\displaystyle a\leq x^2\leq b\), hiszen \(\displaystyle \sqrt{a}<[\sqrt{b}]=x\).
Felhasználva, hogy \(\displaystyle a=dA^2,b=dB^2\) kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{dB^2}-\sqrt{dA^2}=\sqrt{d}(B-A)\geq 1,\)
hiszen \(\displaystyle d,A,B\) pozitív egészekre \(\displaystyle A<B\). Így készen vagyunk, hiszen \(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}\geq 1\) alapján valóban \(\displaystyle [\sqrt{a}]<[\sqrt{b}]\).
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 58 versenyző. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai