A B. 5275. feladat (2022. november)

B. 5275. Van-e olyan irracionális \(\displaystyle a\) szám, amelyre \(\displaystyle a^{\sqrt{3}}\) racionális?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \alpha = \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\) számot. Ha ez véletlen racionális szám volna, akkor \(\displaystyle \sqrt[3]{3}\) rögtön példát is szolgáltatna a feladatban keresett tulajdonságú irracionális számra.

Innentől tehát feltehetjük, hogy \(\displaystyle \alpha\) irracionális. Ekkor \(\displaystyle \alpha^{\sqrt{3}} = \left(\sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{3} = 3\), tehát racionális.

Tehát azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \sqrt[3]{3}\) és \(\displaystyle \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\) közül valamelyik teljesíti a feladat feltételét.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	103 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai