A B. 5279. feladat (2022. december)

B. 5279. Egy derékszögű szögtartományba két kört írtunk. Az egyik kör az egyik szögszárat az $\displaystyle A$ pontban, a másik kör a másik szögszárat a $\displaystyle B$ pontban érinti. A két kör egymást is érinti a $\displaystyle C$ pontban. Határozzuk meg az $\displaystyle ACB \sphericalangle$ nagyságát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a derékszög csúcsa $\displaystyle D$, a két kör középpontja $\displaystyle O_1$, illetve $\displaystyle O_2$. Két kör érintési pontja a centrálisukon helyezkedik el, tehát $\displaystyle O_1,C$ és $\displaystyle O_2$ egy egyenesbe esik.

Az $\displaystyle AO_1C$ háromszög egyenlő szárú, az $\displaystyle AC$ alapon fekvő szögei $\displaystyle \alpha$ nagyságúak. Hasonlóan a $\displaystyle BO_2C$ egyenlő szárú háromszögben a $\displaystyle BC$ alapon fekvő szögek $\displaystyle \beta$ nagyságúak.

Az $\displaystyle ACB\sphericalangle$ szög nagysága $\displaystyle 180^\circ-\alpha-\beta$. Ennek kiszámításához elegendő az $\displaystyle \alpha+\beta$ meghatározása.

A $\displaystyle DAO_1O_2B$ ötszögnek három szöge derékszög, két további szöge az egyenlő szárú háromszögekből $\displaystyle 180^\circ-2\alpha$, illetve $\displaystyle 180^\circ-2\beta$.

Az ötszög belső szögeinek összege $\displaystyle (5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ$, tehát

$\displaystyle 3\cdot 90^\circ+180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\beta=540^\circ.$

Az egyenlet rendezése után:

$\displaystyle 90^\circ=2(\alpha+\beta),$

$\displaystyle \alpha+\beta=45^\circ.$

A keresett szög ennek megfelelően:

$\displaystyle ACB\sphericalangle=180^\circ-\alpha-\beta=135^\circ.$

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	110 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai