A B. 5292. feladat (2023. január)

B. 5292. Adott egy $\displaystyle k$ kör és a belsejében a $\displaystyle P$ és a $\displaystyle Q$ pontok. Szerkesszünk (írjuk le a szerkesztés menetét – az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni – és indokoljuk az eljárás helyességét; magát a szerkesztést nem kell papíron elvégezni) a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontokon át olyan kört, amely a $\displaystyle k$ kört két átellenes pontjában metszi. A $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok helyzetétől függően hány megoldása van a feladatnak?

Javasolta: Kató Gábor (Kápolnásnyék)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Induljunk ki a megoldásból, a $\displaystyle k$ kör középpontja legyen $\displaystyle O$, a keresett körvonal legyen $\displaystyle \kappa$, és jelölje $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ az átmérő két végpontját. A $\displaystyle PQ$ és $\displaystyle XY$ egyenesek metszéspontja legyen $\displaystyle M$.

Az $\displaystyle M$ pont $\displaystyle \kappa$ körre vonatkozó hatványa $\displaystyle MP\cdot MQ=MX\cdot MY$, ahol előjeles hosszokkal számolunk, azaz az $\displaystyle MP\cdot MQ$ szorzat negatív, ha $\displaystyle M$ a $\displaystyle PQ$ szakasz belső pontja, és pozitív egyébként ($\displaystyle XY$-ra hasonlóan). Vagyis $\displaystyle M$ a $\displaystyle PQ$ egyenes olyan pontja, amelynek $\displaystyle k$-ra vonatkozó hatványa éppen $\displaystyle MP\cdot MQ$.

Vegyünk most egy tetszőleges, $\displaystyle P$-re és $\displaystyle Q$-ra illeszkedő $\displaystyle k'$ kört, amely metszi $\displaystyle k$-t valamilyen $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontokban, s legyen $\displaystyle N=PQ\cap AB$. Az előzőhöz hasonlóan $\displaystyle NP\cdot NQ=NA\cdot NB$. Az $\displaystyle N$ pont tehát illeszkedik a $\displaystyle PQ$ egyenesre, és a $\displaystyle k$ körre vonatkozó hatványa épp $\displaystyle NP\cdot NQ$.

Ezekből a következő szerkesztési eljárás adódik.

A szerkesztés menete:

1. Messe $\displaystyle PQ$ szakaszfelező merőlegese $\displaystyle k$-t a $\displaystyle C$ és $\displaystyle C'$ pontokban. Szerkesszünk $\displaystyle C$ körül $\displaystyle CP$ sugarú $\displaystyle k'$ kört, amely $\displaystyle k$-t az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontokban metszi.
2. Szerkesszük meg az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle PQ$ egyenesek $\displaystyle M$ metszéspontját.
3. Szerkesszük meg a $\displaystyle k$ kör $\displaystyle O$ középpontját. (Ezt megtehetjük pl. két tetszőleges, nem párhuzamos húrja szakaszfelező merőlegeseinek metszeteként.)
4. Szerkesszük meg az $\displaystyle MO$ egyenes és a $\displaystyle k$ kör $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ metszéspontjait.
5. Szerkesszük meg az $\displaystyle XPQ\triangle$ körülírt körét. Ez adja a keresett kört.

A szerkesztés helyességének igazolása:

A bevezetőben leírtak szerint az $\displaystyle M$ pont $\displaystyle k'$-re és $\displaystyle k$-ra vonatkozó hatványa megegyezik:

$\displaystyle MP\cdot MQ=MA\cdot MB=MX\cdot MY.$

Így a szelőtétel megfordítása miatt $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$, $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ egy $\displaystyle \kappa$ körre illeszkednek, amely így valóban az átellenes $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ pontokban metszi $\displaystyle k$-t.

Diszkusszió. Először megmutatjuk, hogy ha $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle O$ kollineárisak, akkor nincs megoldása a feladatnak. Tegyük fel, hogy létezik a keresett $\displaystyle \kappa$ kör, amely az $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ átellenes pontokban metszi $\displaystyle k$-t. Ekkor $\displaystyle XYPQ$ húrnégyszög, így konvex, tehát az $\displaystyle XY$ szakasz $\displaystyle O$ felezőpontja benne van a négyszögben, vagyis a $\displaystyle PQ$ szakasz is szükségképpen tartalmazza $\displaystyle O$-t. Így $\displaystyle XY$ a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok egyikéből $\displaystyle \varphi$, másikából $\displaystyle 180^\circ - \varphi$ szög alatt látszik, vagyis legalább az egyik nincs az $\displaystyle XY$ fölé írt Thalész-kör belsejében, ami ellentmond a kiinduló feltételeinknek.

Másodszor megmutatjuk, hogy a feladatnak legfeljebb egy megoldása van. Tegyük fel, hogy két különböző $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ megoldás van, ezek átellenes pontjai $\displaystyle X_1$ és $\displaystyle Y_1$, ill. $\displaystyle X_2$ és $\displaystyle Y_2$. Nyilván $\displaystyle X_1Y_1\cap X_2Y_2=O$, és $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ $\displaystyle P$-ben és $\displaystyle Q$-ban metszik egymást.

Vegyük észre, hogy egyrészről az $\displaystyle X_1Y_1\cap X_2Y_2=O$ észrevétel miatt az $\displaystyle X_2$ és $\displaystyle Y_2$ pontok közül pontosan az egyik van $\displaystyle k_1$ belsejében.

Másrészről a $\displaystyle PQ$ és $\displaystyle X_2Y_2$ szakaszok nem metszhetik egymást, mert $\displaystyle P$-ből és $\displaystyle Q$-ból is tompaszög alatt látszik az $\displaystyle X_2Y_2$ szakasz ($\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ benne van $\displaystyle X_2Y_2$ Thalész-körében), így ezek a szögek nem lehetnek egy húrnégyszög szemköztes szögei. Tehát $\displaystyle X_2$ és $\displaystyle Y_2$ a $\displaystyle k_2$ kör egyazon $\displaystyle PQ$ ívén fekszik, s így $\displaystyle X_2$ és $\displaystyle Y_2$ közül vagy mindkettő $\displaystyle k_1$ belsejében van, vagy egyik sem. Ez ellentmond az előző bekezdés következtetésének, ezért a kiinduló feltételezésünk hibás, legfeljebb egy megoldás lehet.

Rátérünk a szerkesztési eljárás vizsgálatára.

A szerkesztés során használt $\displaystyle k'$ kör mindig létezik. Az $\displaystyle M$ metszéspont nem jön létre, ha $\displaystyle AB\parallel PQ$. Ez pontosan akkor térténik meg, ha az $\displaystyle O$ középpont illeszkedik $\displaystyle PQ$ szakaszfelező merőlegesére. Ekkor a szerkesztés menetét a következőképpen módosítjuk: A negyedik lépésben $\displaystyle O$-n keresztül szerkesszünk párhuzamost $\displaystyle PQ$-val, ez messe $\displaystyle k$-t az $\displaystyle X$ és $\displaystyle Y$ átellenes pontokban. A keresett kört ismét $\displaystyle XPQ\triangle$ körülírt köre adja. Mivel az ábra szimmetrikus $\displaystyle PQ$ szakaszfelező merőlegesére, így erre a körre $\displaystyle Y$ illeszkedik, ami igazolja a szerkesztés helyességét.

Az $\displaystyle XPQ$ háromszög körülírt köre nem létezik, ha a háromszög elfajuló, azaz $\displaystyle X$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ kollineárisak. Először vizsgáljuk azt az esetet, amikor az $\displaystyle M$ pont létezik. Ilyenkor az $\displaystyle O$, $\displaystyle M$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle X$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok mind illeszkednek egy egyenesre. Ha az $\displaystyle M$ pont nem létezik, és $\displaystyle XPQ$ elfajul, akkor szintén világos, hogy a szerkesztés során az $\displaystyle O$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle X$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok kollineárisak. Összességében tehát a szerkesztési eljárásunk pontosan akkor nem vezet eredményre, ha $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle O$ kollineárisak.

Összegezve: a feladatnak nincs megoldása, ha $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle O$ kollineárisak, minden más esetben pontosan egy megoldása van, amit a megadott eljárás szolgáltat.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Fülöp Csilla, Holló Martin, Melján Dávid Gergő, Szakács Ábel, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Csonka Illés, Gömze Norken, László Anna, Nádor Artúr, Nguyen Kim Dorka, Sárdinecz Dóra, Tarján Bernát, Tran Dávid, Veres Dorottya.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai