A B. 5295. feladat (2023. február)

B. 5295. Adjuk meg a legnagyobb olyan \(\displaystyle k\) egész számot, amelyre \(\displaystyle 1722\)-t \(\displaystyle k\)-val elosztva a maradék \(\displaystyle 2m\), míg \(\displaystyle 2179\)-et \(\displaystyle k\)-val elosztva a maradék \(\displaystyle 3m\) (alkalmas \(\displaystyle 0 \le m < k/3\) természetes számra).

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle k \mid 1722-2m\) és \(\displaystyle k \mid 2179-3m\), ezért

\(\displaystyle k \mid 3 (1722-2m) - 2 (2179-3m) = 3 \cdot 1722 - 2 \cdot 2179 = 808. \)

A 808 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 2^3 \cdot 101\), tehát az osztói csökkenő sorrendben: \(\displaystyle 808,404,202,101,8,4,2,1\).

808-cal osztva: \(\displaystyle 1722 = 2 \cdot 808 + 106\), míg \(\displaystyle 2179 = 2 \cdot 808 + 563\), itt \(\displaystyle \frac{106}{2} \neq \frac{563}{3}\), tehát nincs alkalmas \(\displaystyle m\).

404-gyel osztva \(\displaystyle 1722 = 4 \cdot 404 + 106\), míg \(\displaystyle 2179 = 5 \cdot 404 + 159\), itt \(\displaystyle m = 53\)-mal teljesül, hogy \(\displaystyle 2m = 106\) és \(\displaystyle 3m = 159\).

Tehát a válasz a feladat kérdésére: \(\displaystyle 404\) a legnagyobb ilyen egész szám.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	93 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. februári matematika feladatai