 |
A B. 5301. feladat (2023. február) |
B. 5301. Tegyük fel, hogy tíz pozitív egész szám reciprokának összege 1. Igazoljuk, hogy mindegyikük kisebb, mint \(\displaystyle 10^{1000}\).
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az általánosság korlátozása nélkül feltehetjük, hogy a tíz szám:
\(\displaystyle 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_{10}.\)
Rekurzívan belátjuk, hogy minden \(\displaystyle 1 \leq n \leq 10\) esetén \(\displaystyle a_n \leq 10^{2^{n-1}}\).
\(\displaystyle n = 1\) esetén
\(\displaystyle 1 = \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} \leq \frac{10}{a_1},\)
tehát \(\displaystyle a_1 \leq 10 = 10^{2^{1-1}}\).
Ugyanennek a gondolatnak a finomított alkalmazásával működik a rekurziónk (indukciónk) is.
Legyen most \(\displaystyle 1 \leq n < 10\). Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle a_k \leq 10^{2^{k-1}}\) teljesül minden \(\displaystyle i \in \{1,2,\ldots,k\}\) esetén, akkor \(\displaystyle a_{n+1} \leq 10^{2^{n}}\).
Tudjuk, hogy
\(\displaystyle 1 > \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{n}} = \frac{M}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n}}, \)
ahol \(\displaystyle M\) egy pozitív egész, de az \(\displaystyle a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{j-1}\) szorzatnál kisebb szám. Tehát
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} &=& 1 - \left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right) = \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n} - M}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n} } \geq \frac{1}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n}} \geq \\ &\geq& \frac{1}{10^1 \cdot 10^2 \cdot \ldots \cdot 10^{2^{n-1}}} = 10^{-(1+2+2^2+\ldots+2^{n-1})} = 10^{-(2^n-1)}. \end{eqnarray*}$$Mivel \(\displaystyle \frac{10}{a_{n+1}} > \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} \geq 10^{-(2^n-1)} \) ezért megkaptuk, hogy: \(\displaystyle a_{n+1} \leq 10 \cdot 10^{2^n-1} = 10^{2^n}\).
Az így belátott \(\displaystyle a_n \leq 10^{2^{n-1}}\) egyenlőtlenség \(\displaystyle n=10\) esetén a következő becslést adja: \(\displaystyle a_{10} \leq 10^{2^{9}} = 10^{512} < 10^{1000}\). Q.E.D.
Statisztika:
19 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Gömze Norken, Holló Martin, Kocsis 827 Péter, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Varga Boldizsár. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. februári matematika feladatai