A B. 5302. feladat (2023. március)

B. 5302. Egy $\displaystyle 8 \times 8$-as táblázat minden mezőjébe $\displaystyle +1$-et vagy $\displaystyle -1$-et írtunk úgy, hogy az összes szám összege 0. Minden sorban és oszlopban kiszámoljuk a számok összegét. Legfeljebb hány pozitív szám lehet ezen 16 összeg között?

Gáspár Merse Előd (Budapest) ötlete nyomán

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ahhoz, hogy egy sor összege pozitív legyen, legalább 5 darab $\displaystyle (+1)$-nek kell lennie a sorban. Mivel összesen 32 darab $\displaystyle +1$ van a táblázatban, így legfeljebb 6 sor összege lehet pozitív (mivel $\displaystyle 7 \cdot 5$ már több, mint 32). Ugyanígy belátható, hogy legfeljebb 6 oszlop összege lehet pozitív.

Az viszont megvalósítható – például az alábbi ábrán látható konstrukcióval – hogy 6 sor és 6 oszlop összege is pozitív legyen.

Tehát a feladatban vizsgált 16 összeg közül legfeljebb 12 lehet pozitív.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	92 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai