A B. 5304. feladat (2023. március)

B. 5304. $\displaystyle a)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle a+b \mid a^2+b^2, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^4 + b^4?$

$\displaystyle b)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle a+b \mid a^4+b^4, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^2+b^2?$

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Nincsenek ilyen számok, mivel

$\displaystyle a^4 + b^4 = (a^2-b^2) a^2 + (a^2+b^2) b^2 = (a+b)(a-b)a^2 + (a^2+b^2) b^2.$

Az első összeadandó mindig osztható $\displaystyle (a+b)$-vel. Ha $\displaystyle a+b \mid a^2+b^2$, akkor a második összeadandó, és így az összeg, $\displaystyle a^4+b^4$ is osztható $\displaystyle (a+b)$-vel.

b) Vannak ilyen számok, például:

• $\displaystyle a = 14$, $\displaystyle b = 2$ esetén $\displaystyle a + b = 16 = 2^4$, $\displaystyle a^2 + b^2 = 200 = 2^3 \cdot 5^2$ míg $\displaystyle a^4+b^4 = 38432 = 2^5 \cdot 1201$.
• Bármely $\displaystyle n > 2$ egész szám esetén $\displaystyle a = n^3-n$ és $\displaystyle b = n$ jó, hiszen ekkor $\displaystyle a+b = n^3$,
  $\displaystyle a^2+b^2 = (n^3-n)^2 + n^2 = n^3(n^3-2n) + 2n^2$, itt mivel $\displaystyle n > 2$, ezért $\displaystyle n^3 \nmid 2n^2$;
  míg $\displaystyle a^4+b^4 = (n^3-n)^4 + n^4 = n^4 \left( (n^2-1)^4 + 1) \right)$.

Megjegyzés: Egy lehetséges módszer a b) részhez alkalmas példa keresésére a következő.

Mivel $\displaystyle a+b \mid a^2-b^2$ és $\displaystyle a+b \mid a^4-b^4$, ezért $\displaystyle a+b \nmid a^2+b^2 \Leftrightarrow a+b \nmid 2b^2$ és $\displaystyle a+b \mid a^4+b^4 \Leftrightarrow a+b \mid 2b^4$.
Tehát $\displaystyle b$ lehet egy tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész, ekkor az $\displaystyle a+b$ összeg $\displaystyle 2b^4$-nek egy olyan osztója kell legyen, amely $\displaystyle 2b^2$-nek nem osztója.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai