 |
A B. 5306. feladat (2023. március) |
B. 5306. Van egy cinkelt dobókockánk és egy cinkelt érménk, amelynek egyik oldalán egy pötty van, a másik oldalán pedig kettő. Tudjuk, hogy a dobott pöttyök számának várható értéke ugyanannyi a kocka és az érme esetén. Mutassuk meg, hogy egyszerre dobva a kockával és az érmével, annak a valószínűsége, hogy az érmével több pöttyöt dobunk, mint a kockával nagyobb, mint annak a valószínűsége, hogy a kockával dobunk több pöttyöt, mint az érmével.
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a kockával, \(\displaystyle Y\) pedig az érmével dobott pöttyök száma. A feltétel alapján a pöttyök számának várható értéke a két esetben egyenlő: \(\displaystyle E(X)=E(Y)\). A kockával dobott pöttyök számából kivonva az érmével dobott pöttyök számát \(\displaystyle -1\) és 5 közötti (egész) számokat kaphatunk, ennek az értéknek a várható értéke \(\displaystyle E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0\). Ezért, \(\displaystyle -1\leq i\leq 5\)-re \(\displaystyle p_i\)-vel jelölve annak a valószínűségét, hogy \(\displaystyle X-Y=i\) kapjuk, hogy
\(\displaystyle (E(X-Y)=)\sum\limits_{i=-1}^5 ip_i=0,\)
amiből
\(\displaystyle p_{-1}=p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5.\)
A bizonyítandó állítás pedig
\(\displaystyle p_{-1}>p_1+p_2+p_3+p_4+p_5,\)
ami az előző egyenlőtlenségből azonnal következik, hiszen \(\displaystyle p_2+2p_3+3p_4+4p_5>0\). Valóban, a \(\displaystyle p_2,p_3,p_4,p_5\) valószínűségek nyilvánvalóan nemnegatívak, továbbá például \(\displaystyle p_5>0\), hiszen pozitív valószínűséggel dobunk 6 pöttyöt a kockán és 1 pöttyöt az érmén.
Ezzel a bizonyítandó állítást igazoltuk.
Statisztika:
54 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ali Richárd, Anay Aggarwal, Aravin Peter, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Hetyei Dániel, Hodossy Réka, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Hosszu Noel, Inokai Ádám, Juhász-Molnár Erik, Kalmár Botond, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Máté Lőrinc, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Molnár István Ádám, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Őrfi Ádám, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Suszter Bálint, Sütő Áron, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Teveli Jakab, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás. 4 pontot kapott: Kerekes András, Móricz Kármen, Schneider Dávid, Vigh 279 Zalán. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai