A B. 5307. feladat (2023. március)

B. 5307. Egy hegyesszögű háromszög területe $\displaystyle T$, beírt körének sugara $\displaystyle r$, körülírt körének sugara $\displaystyle R$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \sqrt{3}\,T \le {(r+R)}^2.$

Javasolta: Simon László Bence (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel $\displaystyle a, b$ és $\displaystyle c$, a szemben fekvő szögek rendre $\displaystyle \alpha, \beta$ és $\displaystyle \gamma$. A háromszög területét írjuk fel a félkerület és a beírt kör sugarának szorzataként, továbbá az oldalak helyett használjuk az általánosított szinusztételt, azaz $\displaystyle a=2R\sin \alpha, b=2R\sin\beta, c=2R\sin\gamma$. Ezek után a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldala:

$\displaystyle \sqrt{3}T=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)r=\sqrt{3}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)Rr.\tag{1}$

A szinuszfüggvény a $\displaystyle [0; \pi]$ intervallumban konkáv, így a Jensen-egyenlőtlenség alapján

$\displaystyle \sin \alpha+\sin\beta+\sin \gamma\le 3\sin\left( \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3} \right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Ezt betéve (1)-be:

$\displaystyle \sqrt{3}T\le \frac{9}{2}Rr.$

Be kell még bizonyítanunk, hogy $\displaystyle \frac{9}{2}Rr\le (R+r)^2$.

Legyen $\displaystyle R=kr$. Ezzel

$\displaystyle (R+r)^2=(1+k)^2 r^2=\frac{(1+k)^2}{k} Rr=\left(\frac{1}{k}+2+k\right)Rr.$

Az $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$ függvény $\displaystyle x>1$-re szigorúan monoton növekedő és tudjuk a sugáregyenlőtlenség alapján, hogy $\displaystyle k\ge 2$, tehát $\displaystyle \frac{1}{k}+k+2 \ge \frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}$. Ezzel beláttuk, hogy

$\displaystyle \sqrt{3}T\le \frac{9}{2}Rr\le (R+r)^2.$

Egyenlőség csak szabályos háromszög esetén áll fenn.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Anay Aggarwal, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Gurzó Bence, Holló Martin, Inokai Ádám, Jármai Roland, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Melján Dávid Gergő, Őrfi Ádám, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Sütő Áron.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai