A B. 5312. feladat (2023. április) |
B. 5312. Jelölje \(\displaystyle F_k\) a \(\displaystyle k\)-adik Fibonacci-számot (\(\displaystyle F_1=F_2=1\), \(\displaystyle F_{k+1}=F_k+ F_{k-1}\)). Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^nF_k^2F_{k+1}=F_nF_{n+1}F_{n+2} \)
teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle n\) számra.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle 2F_1^2F_2=2\cdot 1^2\cdot 1=2=1\cdot1\cdot 2=F_1F_2F_3\), vagyis az állítás teljesül. Az indukciós lépés igazolásához tegyük fel, hogy valamely \(\displaystyle n\) pozitív egész számra
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^nF_k^2F_{k+1}=F_nF_{n+1}F_{n+2}.\)
Ekkor a
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n+1}F_k^2F_{k+1}=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}\)
egyenlőség igazolásához elég megmutatnunk, hogy
\(\displaystyle F_nF_{n+1}F_{n+2}+2F_{n+1}^2F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}.\)
A Fibonacci-sorozat rekurzióját használva:
$$\begin{multline*} F_nF_{n+1}F_{n+2}+2F_{n+1}^2F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+2}(F_n+2F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}((F_n+F_{n+1})+F_{n+1})= \\ =F_{n+1}F_{n+2}(F_{n+2}+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}, \end{multline*}$$vagyis az állítás \(\displaystyle (n+1)\)-re is teljesül.
Ezzel az állítást igazoltuk.
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 88 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai