A B. 5313. feladat (2023. április) |
B. 5313. Az ABC hegyesszögű háromszögben AC<AB<BC. A körülírt kör középpontja O, a magasságpont M. Az AB oldal felezőmerőlegese az AM egyenest a P pontban, az OMP kör a BM egyenest másodszor az M-től különböző Q pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a BC egyenes érinti az ABQ kört.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen F az AB oldal felezőpontja. Először megmutatjuk, hogy O az FP, M pedig az AP szakasz belső pontja, és Q az AO és BM szakaszok metszéspontja, ami az AFP háromszög belsejébe esik.
Legyenek az ABC háromszög szögei a szokásos módon α, β, illetve γ, a magasságok talppontjai rendre A1, B1, illetve C1 az ábra szerint. A háromszög hegyesszögű, és nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, ezért β<γ<α<90∘.
A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy AOF∢=12AOB∢=ACB∢=γ, így FAO∢=90∘−γ. Az ABA1 derékszögű háromszögből FAP∢=BAA1∢=90∘−A1BA∢=90∘−β, tehát
FAO∢=90∘−γ<90∘−β=FAP∢,
és így O az FP szakasz belső pontja.
A feltétel szerint AC<BC, ezért AC1<BC1, így C1 az AF szakasznak belső pontja. Az AFP és AC1M hasonló háromszögekből látjuk, hogy M az AP szakasz belsejébe esik.
Legyen most Q1 az AO félegyenes és a BM szakasz metszéspontja. Mivel BAQ1∢=FAO∢=90∘−γ>90∘−α=B1BA∢=Q1BA∢, az ABQ1 háromszögben AQ1<BQ1, ezért a Q1 pont az FP egyenesnek az A felőli oldalára, vagyis az AO szakasz belsejébe esik. Tehát Q1 az AFP háromszög belsejébe esik, és az OPMQ1 négyszög konvex.
Mivel
Q1MP∢=BMA1∢=90∘−A1BM∢=90∘−CBB1∢=ACB∢=γ=180∘−POQ1∢,
a OPMQ1 négyszög húrnégyszög, és Q=Q1.
Ugyanebből a húrnégyszögből
BQO∢=180∘−OQM∢=MPO∢=APF∢=90∘−FAP∢=90∘−BAA1∢=A1BA∢=β.
Az ABQ körívhez tartozó kerületi szög AQB∢=180∘−β. A CB szakasz meghosszabbítása éppen ekkora szöget zár be az AB szakasszal, tehát a BC egyenes az ABQ kör B-ben húzott érintője.
Statisztika:
49 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Varga Boldizsár. 3 pontot kapott: Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csupor Albert Dezső, Czanik Pál, Erdélyi Kata, Fehérvári Donát, Inokai Ádám, Kerekes András, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Nguyen Kim Dorka, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Tarján Bernát, Török Eszter Júlia, Tran Dávid, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai