A B. 5322. feladat (2023. május)

B. 5322. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben a szokásos jelölésekkel

$\displaystyle \frac{\cos\alpha}{s-b}-\frac{\cos\beta}{s-a}=\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{s-c},$

akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú. (Az $\displaystyle s$ a háromszög kerületének felét jelöli.)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A beírt kör $\displaystyle r$ sugarára vonatkozó $\displaystyle s-a = r \ctg{\frac{\alpha}{2}}$ összefüggés felhasználásával

$\displaystyle \frac{\cos\alpha}{r\ctg\frac{\beta}{2}} - \frac{\cos\beta}{r\ctg\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos\alpha - \cos\beta }{r\ctg\frac{\gamma}{2}}.$

Mindkét oldalt $\displaystyle r\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}$-vel megszorozva majd rendezve

$\displaystyle \cos\alpha \ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\gamma}{2} - \cos\beta \ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2} = (\cos\alpha - \cos\beta)\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2},$

$\displaystyle \cos\alpha \ctg\frac{\alpha}{2}\left( \ctg\frac{\gamma}{2} - \ctg\frac{\beta}{2} \right) = \cos\beta \ctg\frac{\beta}{2}\left( \ctg\frac{\gamma}{2} - \ctg\frac{\alpha}{2} \right).$

Alkalmazzuk a $\displaystyle \ctg x - \ctg y = \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y}$ azonosságot a két zárójeles kifejezésre:

$\displaystyle \cos\alpha \ctg\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\beta -\gamma}{2} } {\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}} = \cos\beta \ctg\frac{\beta}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha -\gamma}{2} } {\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}.$

Szorozva mindkét oldalt $\displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$-vel:

$\displaystyle \cos\alpha\cos \frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta -\gamma}{2} = \cos\beta\cos \frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\gamma}{2}.$

A $\displaystyle \cos y\sin x =\frac{1}{2}\left( \sin (x+y) + \sin (x-y)\right)$ azonosság alapján:

$\displaystyle \frac{1}{2}\cos\alpha \left( \sin \frac{\alpha + \beta - \gamma }{2} + \sin \frac{\beta - \gamma - \alpha }{2} \right) = \frac{1}{2}\cos\beta \left( \sin \frac{\alpha + \beta - \gamma }{2} + \sin \frac{\alpha - \gamma - \beta }{2} \right),$

$\displaystyle \cos\alpha (\sin(90^{\circ}-\gamma) + \sin (\beta - 90^{\circ})) = \cos\beta (\sin(90^{\circ}-\gamma) + \sin (\alpha - 90^{\circ})),$

$\displaystyle \cos\alpha (\cos\gamma - \cos \beta ) = \cos\beta (\cos\gamma - \cos \alpha ),$

$\displaystyle \cos\gamma (\cos\alpha - \cos\beta) = 0.$

Ez pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle \cos\gamma = 0$, vagy $\displaystyle \cos\alpha = \cos\beta$. Mivel háromszög szögeiről van szó, előbbiből $\displaystyle \gamma = 90^{\circ}$, utóbbiból pedig $\displaystyle \alpha = \beta$ következik.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Hodossy Réka, Holló Martin, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Miklós Janka, Nguyen Kim Dorka, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel.
4 pontot kapott:	Balaskó Imola, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Hosszu Noel, Op Den Kelder Ábel, Sütő Áron, Tran Dávid, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai