A B. 5323. feladat (2023. május)

B. 5323. A következő nyereményjátékot játsszuk: 2023 darab kártyára tetszésünk szerint valós számokat írunk a \(\displaystyle [0, 100]\) tartományból. A kártyákat ezután egy urnába dobjuk, majd az urnából egy kártyát véletlenszerűen kihúzunk. Ha a kihúzott kártyán szereplő szám megegyezik az összes kártyán szereplő számok átlagának 2/3-ával, akkor a kihúzott kártyán szereplő összeget megnyerjük. Ellenkező esetben a nyereményünk 0. Milyen számokat írjunk a kártyákra, hogy a nyereményünk várható értéke a lehető legnagyobb legyen?

Javasolta: Dura-Kovács Balázs (Garching)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A kártyán szereplő számok átlagának \(\displaystyle 2/3\)-át jelölje \(\displaystyle m\), és tegyük fel, hogy ez \(\displaystyle k\) kártyán szerepel. Ekkor a nyereményünk várható értéke \(\displaystyle \frac{km}{2023}\), ennek maximumát keressük.

Mivel a számok átlaga \(\displaystyle 1,5m\), ezért a kártyákra írt számok összege \(\displaystyle 1,5\cdot 2023m=3034,5m\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle k\) kártyán az \(\displaystyle m\) szerepel, a többi kártyán sem szerepelhet 100-nál nagyobb szám, így szükségképpen

\(\displaystyle 1,5\cdot2023m\leq km+(2023-k)\cdot 100,\)

amiből

\(\displaystyle m\leq \frac{(2023-k)\cdot 100}{3034,5-k}.\)

Itt egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a másik \(\displaystyle 2023-k\) kártyán a 100-as szám szerepel.

Az eddigiekből tehát

\(\displaystyle \frac{km}{2023}\leq \frac{k(2023-k)\cdot 100}{2023(3034,5-k)},\)

és itt minden \(\displaystyle k\)-ra egyenlőség is lehetséges, így azt kell meghatároznunk, mely \(\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots,2023\}\) esetén lesz a kapott felső becslés értéke maximális. Vezessük be az \(\displaystyle f(k):=\frac{k(2023-k)}{3034,5-k}\) jelölést, \(\displaystyle f(k)\) maximumát keressük \(\displaystyle \{0,1,2,\dots,2023\}\) halmazon. Ehhez először átalakítjuk \(\displaystyle f(k)\)-t:

\(\displaystyle f(k)=\frac{k(2023-k)}{3034,5-k}=\frac{k(3034,5-k)}{3034,5-k}-\frac{1011,5k}{3034,5-k}=k-1011,5\cdot\frac{k}{3034,5-k}.\)

Vizsgáljuk \(\displaystyle f(k+1)-f(k)\) előjelét:

\(\displaystyle f(k+1)-f(k)=1-1011,5\cdot \left( \frac{k+1}{3033,5-k} -\frac{k}{3034,5-k} \right),\)

ahol

\(\displaystyle \frac{k+1}{3033,5-k} -\frac{k}{3034,5-k}=\frac{(k+1)(3034,5-k)-k(3033,5-k)}{(3033,5-k)(3034,5-k)}=\frac{3034,5}{(3033,5-k)(3034,5-k)}.\)

Vagyis

\(\displaystyle f(k+1)-f(k)=1-\frac{1011,5\cdot 3034,5}{(3033,5-k)(3034,5-k)},\)

itt a nevező a \(\displaystyle [0,2023]\) intervallumon monoton csökkenő. Például a \(\displaystyle (3033,5-k)(3034,5-k)=1011,5\cdot 3034,5\) másodfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle f(k+1)-f(k)\) előjele \(\displaystyle k=1282\)-ra még pozitív, majd \(\displaystyle k=1283\)-ra már negatív. (Az egyenlet \(\displaystyle [0,2023]\)-ba eső gyöke körülbelül \(\displaystyle 1282,03\).) Így \(\displaystyle f(k)\) értéke \(\displaystyle k=0\)-tól \(\displaystyle k=1283\)-ig szigorúan monoton növekedő, majd innen \(\displaystyle k=2023\)-ig szigorúan monoton csökkenő. (Csak az egész helyeket tekintve \(\displaystyle [0,2023]\)-ban.)

Így \(\displaystyle f(k)\) értéke \(\displaystyle k=1283\)-ra lesz maximális. Tehát a nyereményünk várható értéke pontosan akkor lesz a legnagyobb, ha 1283 kártyára az

\(\displaystyle m=\frac{(2023-1283)\cdot 100}{3034,5-1283}=\frac{74000}{1751,5}=\frac{148000}{3503}\approx 42,25\)

számot írjuk, a többi, 740 kártyára pedig a 100-at. Ekkor a nyeremény várható értéke

\(\displaystyle \frac{km}{2023}=\frac{1283\cdot148000}{2023\cdot 3503}=\frac{189884000}{7086569}\approx 26,79.\)

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Csilling Dániel, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Gömze Norken, Guthy Gábor, Hodossy Réka, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Melján Dávid Gergő, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Teveli Jakab, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Chrobák Gergő, Domján Olivér, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Varga Boldizsár, Virág Lénárd Dániel.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai