A B. 5326. feladat (2023. szeptember)

B. 5326. Egy angol-magyar találkozó végén minden résztvevő elköszönt mindegyik másik résztvevőtől: az angolok mindenkinek egyesével ezt mondták: ,,Goodbye!'', míg a magyarok ezt: ,,Viszlát!'' Hányan vettek részt az egyes nemzetek képviseletében, ha 198-szor hangzott el az, hogy ,,Goodbye!'' és 308-szor az, hogy ,,Viszlát!''?

Javasolta: Hujter Bálint, Budapest

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Jelölje $\displaystyle N$ az összes résztvevő számát (angolok és magyarok együtt). Minden résztvevő pontosan egyszer köszönt az összes többi résztvevőnek, ezért:

$\displaystyle N(N-1) = 198 + 308.$

Az $\displaystyle N^2-N-506 = 0$ másodfokú egyenlet egyetlen pozitív megoldása $\displaystyle N=23$, tehát összesen ennyien vettek részt a találkozón.

Minden angol $\displaystyle N-1=22$ másik résztvevőnek mondott ,,Goodbye!''-t, így $\displaystyle 198/22 =$ 9 angol, és $\displaystyle 23-9=$ 14 magyar vett részt a találkozón.

2. megoldás. Jelölje a találkozón résztvevő angolok számát $\displaystyle a$, a magyarok számát $\displaystyle m$, ekkor felírható, hogy: a (a+m - 1) = 198,
m (a+m - 1) = 308. Látható, hogy $\displaystyle a+m-1$ osztja a 198-at és a 308-at, tehát a legnagyobb közös osztójukat, a 22-t is.

Ha $\displaystyle a+m-1 \leq 17$ lenne, akkor mivel $\displaystyle m \leq a+m-1$ (hiszen $\displaystyle a$ pozitív egész), ezért $\displaystyle m (a+m - 1) \leq 17^2 = 289 < 308$ lenne.

Tehát $\displaystyle a+m-1$ osztója 22-nek és 17-nél nagyobb, így csak $\displaystyle a+m-1=22$ lehetséges.

Így $\displaystyle a \cdot 22 = 198$ és $\displaystyle m \cdot 22 = 308$, azaz $\displaystyle a = 9$ és $\displaystyle m = 14$.

Statisztika:

281 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	226 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	27 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai