 |
A B. 5326. feladat (2023. szeptember) |
B. 5326. Egy angol-magyar találkozó végén minden résztvevő elköszönt mindegyik másik résztvevőtől: az angolok mindenkinek egyesével ezt mondták: ,,Goodbye!'', míg a magyarok ezt: ,,Viszlát!'' Hányan vettek részt az egyes nemzetek képviseletében, ha 198-szor hangzott el az, hogy ,,Goodbye!'' és 308-szor az, hogy ,,Viszlát!''?
Javasolta: Hujter Bálint, Budapest
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Jelölje \(\displaystyle N\) az összes résztvevő számát (angolok és magyarok együtt). Minden résztvevő pontosan egyszer köszönt az összes többi résztvevőnek, ezért:
\(\displaystyle N(N-1) = 198 + 308. \)
Az \(\displaystyle N^2-N-506 = 0\) másodfokú egyenlet egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle N=23\), tehát összesen ennyien vettek részt a találkozón.
Minden angol \(\displaystyle N-1=22\) másik résztvevőnek mondott ,,Goodbye!''-t, így \(\displaystyle 198/22 = \) 9 angol, és \(\displaystyle 23-9=\) 14 magyar vett részt a találkozón.
2. megoldás. Jelölje a találkozón résztvevő angolok számát \(\displaystyle a\), a magyarok számát \(\displaystyle m\), ekkor felírható, hogy: a (a+m - 1) = 198,
m (a+m - 1) = 308. Látható, hogy \(\displaystyle a+m-1\) osztja a 198-at és a 308-at, tehát a legnagyobb közös osztójukat, a 22-t is.
Ha \(\displaystyle a+m-1 \leq 17\) lenne, akkor mivel \(\displaystyle m \leq a+m-1\) (hiszen \(\displaystyle a\) pozitív egész), ezért \(\displaystyle m (a+m - 1) \leq 17^2 = 289 < 308\) lenne.
Tehát \(\displaystyle a+m-1\) osztója 22-nek és 17-nél nagyobb, így csak \(\displaystyle a+m-1=22\) lehetséges.
Így \(\displaystyle a \cdot 22 = 198\) és \(\displaystyle m \cdot 22 = 308\), azaz \(\displaystyle a = 9\) és \(\displaystyle m = 14\).
Statisztika:
281 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 226 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 27 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai