A B. 5327. feladat (2023. szeptember)

B. 5327. Az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságai $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal szerkeszthető háromszög, és ennek a háromszögnek a magasságai $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ oldalakkal is szerkeszthető háromszög.

Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABC$ háromszög oldalait a szokásos módon $\displaystyle a$-val, $\displaystyle b$-vel és $\displaystyle c$-vel jelölve felírhatjuk háromféleképpen a kétszeres területét: $\displaystyle 2T=am_a=bm_b=cm_c$.

Ugyanezt a gondolatot megismételhetjük az $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal szerkesztett háromszögre is, amelynek területét jelöljük $\displaystyle T_1$-gyel: $\displaystyle 2T_1=m_ax=m_by=m_cz$.

A két egyenlőségláncolat megfelelő elemeit elosztva egymással azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac {T_1}{T}=\frac xa =\frac yb= \frac zc.$

Ebből következik, hogy ha az $\displaystyle ABC$ háromszögre egy $\displaystyle \lambda=T_1/T$ arányú hasonlósági transzformációt alkalmazunk, akkor egy olyan háromszöget kapunk, aminek oldalai éppen $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$, ami miatt $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ oldalakkal valóban szerkeszthető háromszög.

Megjegyzés. Folklór feladat, hogy szerkesszünk háromszöget, ha adott a három magassága. Az elterjedt módszer felhasználja a feladat megoldásában is kimutatott tényt: az $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal szerkesztett háromszög magasságaiból szerkesztett háromszög hasonló a keresetthez. A szerkesztés (vázlatos) menete:

1. Szerkesszünk $\displaystyle \Delta_1$ háromszöget $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal.
2. Szerkesszük meg $\displaystyle \Delta_1$ háromszög $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ magasságait.
3. Szerkesszünk $\displaystyle \Delta_2$ háromszöget $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ oldalakkal. Jelölje $\displaystyle \Delta_2$-ben az $\displaystyle x$-hez tartozó magasságot $\displaystyle m$.
4. Nagyítsuk ki $\displaystyle \Delta_2$ háromszöget $\displaystyle m_a/m$ arányban.

Vegyük észre, hogy ez az eljárás a folklór szerkesztési feladatra hiányos! Ugyanis az $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal nem biztos, hogy szerkeszthető háromszög; annak ellenére, hogy a feladatnak van megoldása. (Vegyük például az egyenlő szárú háromszöget, aminek oldalai $\displaystyle 1000$, $\displaystyle 1000$ és $\displaystyle 1$. Ennek magasságai körülbelül $\displaystyle 1$, $\displaystyle 1$ és $\displaystyle 1000$ hosszúak, nyilvánvalóan nem teljesítik a háromszög-egyenlőtlenséget.)

Egy lehetséges helyes, és mindig működő módszer, ha $\displaystyle 1/m_a$, $\displaystyle 1/m_b$ és $\displaystyle 1/m_c$ oldalakkal szerkesztünk háromszöget, és azt nagyítjuk ki megfelelő arányban.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai