A B. 5331. feladat (2023. szeptember)

B. 5331. Mutassuk meg, hogy az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder lefedhető kettő darab, egységnyi átmérőjű gömbbel.

Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a tetraéder csúcsait \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\); az \(\displaystyle XY\) él felezőpontja legyen \(\displaystyle F_{XY}\). Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle F_{AB}\) és \(\displaystyle F_{CD}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömbök lefedik a tetraédert.

Először is vegyük észre, hogy az \(\displaystyle F_{AC}\), \(\displaystyle F_{AD}\), \(\displaystyle F_{BC}\) és \(\displaystyle F_{BD}\) pontok egy síkban vannak, mivel az \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}\) és \(\displaystyle F_{BC}F_{BD}\) szakaszok párhuzamosak a \(\displaystyle CD\) éllel, hiszen középvonalak az \(\displaystyle ACD\) ill. \(\displaystyle BCD\) háromszögekben. (Valójában az is jól ismert, hogy \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) négyzet, de erre a tényre nem lesz szükségünk.) Ezért az \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) sík a tetraédert két konvex poliéderre darabolja: \(\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\)-re, és \(\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\)-re.

Most figyeljük meg, hogy

\(\displaystyle F_{AB}F_{AC}=F_{AB}F_{AD}=F_{AB}F_{BC}=F_{AB}F_{BD}=\frac 12=F_{CD}F_{AC}=F_{CD}F_{AD}=F_{CD}F_{BC}=F_{CD}F_{BD},\)

mivel mind a nyolc szakasz középvonala a tetraéder valamely lapjának. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle F_{AB}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömb tartalmazza az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F_{AC}\), \(\displaystyle F_{AD}\), \(\displaystyle F_{BC}\) és \(\displaystyle F_{BD}\) pontok mindegyikét, ezért az \(\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) konvex burkot is. Hasonlóan, az \(\displaystyle F_{CD}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömb tartalmazza a \(\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) konvex poliédert. Mivel a két poliéder együtt kiadja \(\displaystyle ABCD\)-t, ezért a két gömb együtt lefedi a tetraédert. Ezt akartuk bizonyítani.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	101 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai