A B. 5331. feladat (2023. szeptember)

B. 5331. Mutassuk meg, hogy az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder lefedhető kettő darab, egységnyi átmérőjű gömbbel.

Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a tetraéder csúcsait $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$; az $\displaystyle XY$ él felezőpontja legyen $\displaystyle F_{XY}$. Megmutatjuk, hogy az $\displaystyle F_{AB}$ és $\displaystyle F_{CD}$ középpontú, $\displaystyle 1/2$ sugarú gömbök lefedik a tetraédert.

Először is vegyük észre, hogy az $\displaystyle F_{AC}$, $\displaystyle F_{AD}$, $\displaystyle F_{BC}$ és $\displaystyle F_{BD}$ pontok egy síkban vannak, mivel az $\displaystyle F_{AC}F_{AD}$ és $\displaystyle F_{BC}F_{BD}$ szakaszok párhuzamosak a $\displaystyle CD$ éllel, hiszen középvonalak az $\displaystyle ACD$ ill. $\displaystyle BCD$ háromszögekben. (Valójában az is jól ismert, hogy $\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$ négyzet, de erre a tényre nem lesz szükségünk.) Ezért az $\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$ sík a tetraédert két konvex poliéderre darabolja: $\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$-re, és $\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$-re.

Most figyeljük meg, hogy

$\displaystyle F_{AB}F_{AC}=F_{AB}F_{AD}=F_{AB}F_{BC}=F_{AB}F_{BD}=\frac 12=F_{CD}F_{AC}=F_{CD}F_{AD}=F_{CD}F_{BC}=F_{CD}F_{BD},$

mivel mind a nyolc szakasz középvonala a tetraéder valamely lapjának. Ebből következik, hogy az $\displaystyle F_{AB}$ középpontú, $\displaystyle 1/2$ sugarú gömb tartalmazza az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle F_{AC}$, $\displaystyle F_{AD}$, $\displaystyle F_{BC}$ és $\displaystyle F_{BD}$ pontok mindegyikét, ezért az $\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$ konvex burkot is. Hasonlóan, az $\displaystyle F_{CD}$ középpontú, $\displaystyle 1/2$ sugarú gömb tartalmazza a $\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}$ konvex poliédert. Mivel a két poliéder együtt kiadja $\displaystyle ABCD$-t, ezért a két gömb együtt lefedi a tetraédert. Ezt akartuk bizonyítani.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	101 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai