 |
A B. 5333. feladat (2023. szeptember) |
B. 5333. A hegyesszögű ABC háromszög A csúcshoz tartozó magasságának talppontja TA. Az A csúcsból a körülírt kör O középpontján át húzott félegyenes a BC oldalt az RA pontban metszi. Az ARA szakasz felezőpontja legyen az FA pont. A B és C csúcsokból kiindulva ugyanígy képezzük a TB, RB, FB, TC, RC, FC pontokat. Mutassuk meg, hogy a TAFA, TBFB és TCFC egyenesek egy pontban metszik egymást.
Javasolta: Simon László Bence, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Azt fogjuk bizonyítani, hogy a TAFA, TBFB, TCFC egyenesek mindegyike átmegy a Feuerbach-kör F középpontján, a három egyenes ebben a pontban metszi egymást.
Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az állítás egyébként is nyilvánvaló, a három egyenes a szimmetriatengelyen metszi egymást. Feltehetjük tehát a továbbiakban, hogy a háromszögnek nincs két egyforma szöge. Vizsgáljuk a TAFA egyenest. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük azt is, hogy β>γ. Az ábra jelölései a feladat szövegének megfelelőek.
A BATA∢=90∘−β, továbbá a kerületi és középponti szögek tétele miatt AOC∢=2β. Ebből az AOC egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei szintén OAC∢=OCA∢=90∘−β nagyságúak.
Számoljuk ki ezek alapján, felhasználva a háromszög szögösszegét is, a TAAO szöget:
TAAO∢=α−(90∘−β)−(90∘−β)=α+2β−180∘=α+2β−α−β−γ=β−γ.
Az ATARA derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az FA pont. Így az AFATA egyenlő szárú háromszögben az A-nál és TA-nál fekvő szögek megegyeznek, ATAFA∢=β−γ.
A továbbiakban azt fogjuk igazolni, hogy az ATAF szög is β−γ, azaz az F pont rajta van a TAFA egyenesen.
Ezen az ábrán a feladat szövegében is szereplő jelölések mellett M-mel jelöltük a háromszög magasságpontját, D-vel a BC oldal felezőpontját, MA-val a magasságpontnak D-re vonatkozó tükörképét. Két ismert tényre támaszkodunk. Egyrészt a magasságpontnak a BC oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe az ABC körülírt körének A csúccsal átellenes pontja, MA. Másrészt a Feuerbach-kör átmegy az oldalfelezőpontokon, pl. D-n, továbbá a magasságpontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjain, pl. az ábrán a KA pont. Tekintsük először az AMMA háromszöget. Ebben a háromszögben az előbbiek miatt az AMA szakasz az ABC körülírt körének átmérője, KAD pedig középvonal. A KAD középvonal párhuzamos és feleakkora, mint az AMA oldal. Ebből két fontos következtetést tudunk levonni. Egyfelől KAD az ABC kör átmérőjének fele, azaz egyik átmérője a Feuerbach-körnek, másfelől a párhuzamosság miatt MKAD∢=TAKAD∢=TAAO∢=β−γ.
Végül tekintsük a KATAD derékszögű háromszöget. Átfogójának felezőpontja, egyben körülírt körének középpontja az F pont, amelytől egyforma távolságra vannak a csúcsok. Ennek megfelelően KAF=TAF, TAKAF∢=KATAF∢=β−γ. Az F pont rajta van a TAFA egyenesen.
Ugyanez igazolható a másik két egyenes esetében is, a három egyenes az F pontban metszi egymást.
Statisztika:
43 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Elias Simon, Farkas 005 Bendegúz, Fehérvári Donát, Fodor Dóra, Fórizs Emma, Gömze Norken, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Lincoln Liu, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Sárdinecz Dóra, Tömböly 299 Áron, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Virág Tóbiás, Vödrös Dániel László, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás. 5 pontot kapott: Anay Aggarwal, Forrai Boldizsár, Sha Jingyuan, Szakács Ábel. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai
|
|