 |
A B. 5334. feladat (2023. október) |
B. 5334. Melyik az a legkisebb \(\displaystyle n\), amelyre minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge?
Erdős Pál (1913–1996) feladata
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ismert, hogy minden konvex \(\displaystyle n\)-szög külső szögeinek összege \(\displaystyle 360^\circ\). Egy legfeljebb \(\displaystyle 90^\circ\)-os belső szöghöz (azaz hegyes- vagy derékszöghöz) tartozó külső szög legalább \(\displaystyle 90^\circ\)-os. Ilyenből tehát legfeljebb 4 fér el a \(\displaystyle 360^{\circ}\)-nyi külső szögösszegben – és 4 is csak akkor, ha 4 derékszögön kívül nincs más szög (azaz egy téglalapról van szó). Következésképpen, ha \(\displaystyle n > 4\), akkor egy konvex \(\displaystyle n\)-szögnek legfeljebb 3 olyan szöge lehet, amely nem tompaszög.
Ha \(\displaystyle n \geq 7\), akkor ez azt jelenti, hogy a szögeinek több mint fele tompaszög. Ha a szögek több mint fele tompaszög, akkor pedig kell legyen két szomszédos tompaszög (hiszen ha mind az \(\displaystyle n\) oldal valamelyik végén volna egy hegyes- vagy derékszög, akkor az ilyen szögek száma legalább \(\displaystyle n/2\) lenne, mivel egy szög csak két oldallal találkozik).
Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle n \geq 7\) esetén minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge.
Másrészt mutatunk \(\displaystyle n = 6\) esetére egy ellenpéldát. Egy szabályos háromszög (\(\displaystyle ABC\)) oldalaira szerkesszünk kifelé egy-egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget (\(\displaystyle AA'B\), \(\displaystyle BB'C\), \(\displaystyle CC'A\)) úgy, hogy mindig az új csúcsnál legyen a derékszög. Így egy olyan \(\displaystyle AA'BB'CC'\) konvex hatszöget kapunk, amelynek nincs két szomszédos tompaszöge.
Tehát \(\displaystyle 7\) a legkisebb \(\displaystyle n\), amelyre minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge.
Statisztika:
192 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 82 versenyző. 2 pontot kapott: 37 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 25 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 20 dolgozat.
A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai