A B. 5334. feladat (2023. október)

B. 5334. Melyik az a legkisebb $\displaystyle n$, amelyre minden konvex $\displaystyle n$-szögnek van két szomszédos tompaszöge?

Erdős Pál (1913–1996) feladata

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy minden konvex $\displaystyle n$-szög külső szögeinek összege $\displaystyle 360^\circ$. Egy legfeljebb $\displaystyle 90^\circ$-os belső szöghöz (azaz hegyes- vagy derékszöghöz) tartozó külső szög legalább $\displaystyle 90^\circ$-os. Ilyenből tehát legfeljebb 4 fér el a $\displaystyle 360^{\circ}$-nyi külső szögösszegben – és 4 is csak akkor, ha 4 derékszögön kívül nincs más szög (azaz egy téglalapról van szó). Következésképpen, ha $\displaystyle n > 4$, akkor egy konvex $\displaystyle n$-szögnek legfeljebb 3 olyan szöge lehet, amely nem tompaszög.

Ha $\displaystyle n \geq 7$, akkor ez azt jelenti, hogy a szögeinek több mint fele tompaszög. Ha a szögek több mint fele tompaszög, akkor pedig kell legyen két szomszédos tompaszög (hiszen ha mind az $\displaystyle n$ oldal valamelyik végén volna egy hegyes- vagy derékszög, akkor az ilyen szögek száma legalább $\displaystyle n/2$ lenne, mivel egy szög csak két oldallal találkozik).

Ezzel beláttuk, hogy $\displaystyle n \geq 7$ esetén minden konvex $\displaystyle n$-szögnek van két szomszédos tompaszöge.

Másrészt mutatunk $\displaystyle n = 6$ esetére egy ellenpéldát. Egy szabályos háromszög ($\displaystyle ABC$) oldalaira szerkesszünk kifelé egy-egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget ($\displaystyle AA'B$, $\displaystyle BB'C$, $\displaystyle CC'A$) úgy, hogy mindig az új csúcsnál legyen a derékszög. Így egy olyan $\displaystyle AA'BB'CC'$ konvex hatszöget kapunk, amelynek nincs két szomszédos tompaszöge.

Tehát $\displaystyle 7$ a legkisebb $\displaystyle n$, amelyre minden konvex $\displaystyle n$-szögnek van két szomszédos tompaszöge.

Statisztika:

192 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	20 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai