 |
A B. 5335. feladat (2023. október) |
B. 5335. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számok szorzata 1. Mennyi lehet az
\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} +\left(y+\frac{1}{y}\right)^{2} +\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2} -\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(y+\frac{1}{y}\right) \left(z+\frac{1}{z}\right) \)
kifejezés értéke?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Felbontva a zárójeleket, majd kihasználva, hogy az \(\displaystyle xyz = 1\) feltétel szerint \(\displaystyle \frac{xy}{z} = \frac1{z^2}\), \(\displaystyle \frac{xz}{y} = \frac1{y^2}\), \(\displaystyle \frac{yz}{x} = \frac1{x^2}\), \(\displaystyle \frac{x}{yz} = x^2\), \(\displaystyle \frac{y}{xz} = y^2\), \(\displaystyle \frac{z}{xy} = z^2\) és \(\displaystyle \frac1{xyz} = 1\), a következőt kapjuk:
$$\begin{eqnarray*} & & \left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right) = \\ & = & x^2 + 2 + \frac1{x^2} + y^2 + 2 + \frac1{y^2} + z^2 + 2 + \frac1{z^2} - xyz - \frac{xy}{z} - \frac{xz}{y} - \frac{yz}{x} - \frac{x}{yz} - \frac{y}{xz} - \frac{z}{xy} - \frac1{xyz} = \\ & = & x^2 + 2 + \frac1{x^2} + y^2 + 2 + \frac1{y^2} + z^2 + 2 + \frac1{z^2} - xyz - 1 - \frac1{z^2} - \frac1{y^2} - \frac1{x^2} - x^2 - y^2 - z^2 - 1 = 4. \end{eqnarray*}$$Tehát a kifejezés értéke mindig 4 (ha az \(\displaystyle x,y,z\) számhármas szorzata 1).
Statisztika:
223 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 173 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 20 dolgozat.
A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai