A B. 5337. feladat (2023. október)

B. 5337. Egy szabályos $\displaystyle n$-szög minden oldalára megrajzoltam kifelé egy szabályos háromszöget. A háromszögek harmadik csúcsai egy nagyobb szabályos $\displaystyle n$-szöget alkotnak. Mennyi lehet $\displaystyle n$, ha a két sokszög területének aránya egész szám?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle A_1 A_2 A_3 \ldots A_{n-1} A_n$ az eredeti (kisebb) szabályos $\displaystyle n$-szöget, és jelölje $\displaystyle B_i$ az $\displaystyle A_iA_{i+1}$ oldalra rajzolt szabályos háromszög harmadik csúcsát, így a nagyobb szabályos $\displaystyle n$-szög $\displaystyle B_1 B_2 B_3 \ldots b_{n-1} B_n$.

Jelölje a kisebbik szabályos $\displaystyle n$-szög oldalhosszát $\displaystyle a$, a nagyobbikét $\displaystyle b$. Mivel a két szabályos $\displaystyle n$-szög hasonló, ezért területük aránya $\displaystyle \dfrac{b^2}{a^2}$.

Tekintsük az $\displaystyle A_1A_2B_1$ egyenlő szárú háromszöget. Jelölje $\displaystyle \varphi$ a két $\displaystyle a$ hosszúságú oldala által bezárt szöget. Mivel a szabályos $\displaystyle n$-szög egy belső szöge $\displaystyle \frac{n-2}{n} \cdot 180^{\circ}$, ezért $\displaystyle \varphi = 360^{\circ} - \frac{n-2}{n} \cdot 180^{\circ} - 2 \cdot 60^{\circ} = 60^{\circ} + \frac{360^\circ}{n}$.

Ha $\displaystyle n=3$, akkor $\displaystyle \varphi = 180^{\circ}$, ilyenkor az $\displaystyle A_1A_2B_1$ háromszög egy szakasszá fajul.

$\displaystyle n > 3$ esetén $\displaystyle 60^{\circ} < \varphi < 180^{\circ}$, így az $\displaystyle A_1A_2B_1$ háromszög tényleg létezik (méghozzá az ábrán látható elrendezésben: a nagyobb szabályos $\displaystyle n$-szög tartalmazza, míg a kisebbik szabályos $\displaystyle n$-szög nem tartalmazza az $\displaystyle A_1A_2B_1$ háromszöget).

Felírhatjuk a koszinusztételt (az egyenlet $\displaystyle \varphi = 180^{\circ}$ esetben is teljesül):

$\displaystyle b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \varphi,$

azaz

$\displaystyle \frac{b^2}{a^2} = 2 - 2 \cos \varphi.$

Így a két terület aránya pontosan akkor lesz egész, ha $\displaystyle \cos \varphi$ egy egész szám fele. Mivel $\displaystyle 60^{\circ} < \varphi \le 180^{\circ}$, ezért $\displaystyle \cos \varphi$ a $\displaystyle \left[-1,\frac12 \right)$ intervallumból vehet fel értékeket, így a következő értékek jöhetnek szóba:

$\displaystyle \cos \varphi_1 = -1, \quad \cos \varphi_2 = -\frac12 \quad \text{és} \quad \cos \varphi_3 = 0 \quad$

Már korábban láttuk, hogy az $\displaystyle n_1 = 3$ esetben lesz $\displaystyle \cos \varphi_1 = \cos 180^{\circ} = -1$, ilyenkor a két szabályos 3-szög területének aránya $\displaystyle \frac{b^2}{a^2} = 2 - 2 \cos \varphi_1 = 4$.

Ha $\displaystyle \cos \varphi_2 = -\frac12$, akkor $\displaystyle \varphi_2 = 120^{\circ} = 60^{\circ} + \frac{360^\circ}{n_2}$, azaz $\displaystyle n_2 = 6$. A két szabályos 6-szög területének aránya $\displaystyle \frac{b^2}{a^2} = 2 - 2 \cos \varphi_2 = 3$.

Ha $\displaystyle \cos \varphi_3 = 0$, akkor $\displaystyle \varphi_3 = 90^{\circ} = 60^{\circ} + \frac{360^\circ}{n_1}$, azaz $\displaystyle n_1 = 12$. A két szabályos 12-szög területének aránya $\displaystyle \frac{b^2}{a^2} = 2 - 2 \cos \varphi_3 = 2$.

Összefoglalva: $\displaystyle n \in \{ 3,6,12 \}$ esetén lesz a két sokszög területének aránya egész szám.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai