A B. 5339. feladat (2023. október)

B. 5339. A \(\displaystyle k_1\) kör belülről érinti a \(\displaystyle k_2\) kört a \(\displaystyle P\) pontban. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k_1\) körvonal egy tetszőleges pontja, és messe a \(\displaystyle k_1\)-hez \(\displaystyle M\)-ben húzott érintő \(\displaystyle k_2\)-t az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle PM\) felezi az \(\displaystyle APB\) szöget.

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás Mivel a két kör tartalmazza, és a \(\displaystyle P\) pontban érinti egymást, a \(\displaystyle P\) pont a két kör külső hasonlósági pontja. Tehát, a \(\displaystyle P\) pontból a \(\displaystyle k_1\) kört a \(\displaystyle k_2\) körbe nagyíthatjuk. Legyen \(\displaystyle M'\) az \(\displaystyle M\) pont képe a nagyítás szerint, ekkor tehát az \(\displaystyle M'\) pont a \(\displaystyle PM\) szakasz \(\displaystyle M\)-n túli meghosszabbításának és a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle P\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívének metszéspontja.

A feltétel szerint az \(\displaystyle AB\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) körhöz az \(\displaystyle M\) pontban húzott érintő. Ezt a tulajdonságot a nagyítás megőrzi, tehát \(\displaystyle AB\) képe a \(\displaystyle k_2\) körhöz az \(\displaystyle M'\) pontban húzott érintő.

Azt is tudjuk, hogy a középpontos nagyítás iránytartó, ezért a két érintő párhuzamos egymással. Az \(\displaystyle AB\) köríven az ívfelező pont az egyetlen, ahonnan \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos érintő húzható, tehát az \(\displaystyle M'\) pont a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle AB\) ívének felezőpontja.

Mivel az \(\displaystyle AM'\) és \(\displaystyle M'B\) ívek egyenlők, ezekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak, \(\displaystyle APM'\sphericalangle=M'PB\sphericalangle\), vagyis a \(\displaystyle PMM'\) egyenes valóban felezi az \(\displaystyle APB\) szöget.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai