A B. 5341. feladat (2023. október)

B. 5341. A szabályos $\displaystyle ABCD$ tetraéder súlypontja $\displaystyle S$, egy tetszőleges belső pontja $\displaystyle P$. Tükrözzük a $\displaystyle P$ pontot a tetraéder négy lapsíkjára, így kapjuk az $\displaystyle XYZW$ tetraédert. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle XYZW$ súlypontja a $\displaystyle PS$ szakasz $\displaystyle S$-hez közelebbi harmadolópontja.

(Monthly feladat alapján)

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszuk vonatkoztatási pontnak $\displaystyle S$-t, az $\displaystyle S$-ből a pontokba mutató vektorokat jelöljük a megfelelő vastagon szedett kisbetűkkel. Feltehetjük, hogy $\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=|\mathbf d|=1$, s ekkor $\displaystyle \mathbf a \mathbf b=\mathbf a \mathbf c=\ldots=-1/3$. Ismert, hogy $\displaystyle \mathbf p = \alpha \mathbf a+\beta \mathbf b+\gamma \mathbf c+\delta \mathbf d$ alakban írható, ahol $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=1.$

Jelölje $\displaystyle P$ merőleges vetületét az $\displaystyle ABC$ lapsíkra $\displaystyle M$, s keressük $\displaystyle \mathbf m= \alpha_1 \mathbf a+\beta_1 \mathbf b+\gamma_1 \mathbf c$ alakban, ahol $\displaystyle \alpha_1+\beta_1+\gamma_1=1$. Ekkor $\displaystyle PM\perp ABC$ miatt a belső szorzatokra

$\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf a \rangle= \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf b \rangle=\langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf c \rangle.$

Itt $\displaystyle \mathbf m - \mathbf p=(\alpha_1-\alpha) \mathbf a+ (\beta_1-\beta) \mathbf b+(\gamma_1-\gamma) \mathbf c-\delta \mathbf d$, amiből $\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf a \rangle=\alpha_1-\alpha+(\beta-\beta_1+\gamma-\gamma_1+\delta)/3=4(\alpha_1-\alpha)/3$. Hasonlóan $\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf b \rangle=4(\beta_1-\beta)/3$ és $\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf c \rangle=4(\gamma_1-\gamma)/3$. Ezekből $\displaystyle \alpha_1=(\alpha-\gamma)+\gamma_1$ és $\displaystyle \beta_1=(\beta-\gamma)+\gamma_1$, amiket az $\displaystyle \alpha_1+\beta_1+\gamma_1=1$ összefüggésbe helyettesítve, rendezés után $\displaystyle \gamma_1=\gamma+\delta/3$ adódik. Hasonlóan $\displaystyle \alpha_1=\alpha+\delta/3$ és $\displaystyle \beta_1=\beta+\delta/3$, azaz

$\displaystyle \mathbf m= \left ( \alpha +\frac \delta 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac \delta 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac \delta 3 \right ) \mathbf c.$

Innen pedig a $\displaystyle P$ pont $\displaystyle ABC$ síkra vonatkozó $\displaystyle X$ tükörképére

$\displaystyle \mathbf x=\mathbf p + 2(\mathbf m - \mathbf p)=2 \mathbf m - \mathbf p= \left ( \alpha +\frac {2 \delta} 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac {2 \delta} 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac {2\delta} 3 \right ) \mathbf c - \delta \mathbf d.$

Hasonlóan számolható a többi lapra vonatkozó tükörkép is. Az $\displaystyle XYZW$ tetraéder $\displaystyle R$ súlypontjára pedig számolás után

$\displaystyle \mathbf r=\frac{\mathbf x+ \mathbf y +\mathbf z+ \mathbf w}{4}=\frac{\alpha \mathbf a+ \beta \mathbf b + \gamma \mathbf c + \delta \mathbf d }{3}$

adódik, ami igazolja az állítást.

Megjegyzés. Az $\displaystyle \mathbf m$ vektort adó formula helyessége a képlet ismeretében már gyorsan igazolható: az $\displaystyle \mathbf m= \left ( \alpha +\frac \delta 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac \delta 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac \delta 3 \right ) \mathbf c$ helyvektorral adott $\displaystyle M$ pont illeszkedik az $\displaystyle ABC$ síkra, mert az együtthatók összege $\displaystyle 1$, továbbá

$\displaystyle \mathbf m - \mathbf p= \frac \delta 3 \mathbf a+ \frac \delta 3 \mathbf b+\frac \delta 3 \mathbf c - \delta \mathbf d=\frac {-2 \delta}{3} \mathbf d,$

ami valóban merőleges az $\displaystyle ABC$ síkra. (A számolásban kihasználtuk, hogy $\displaystyle \mathbf a +\mathbf b +\mathbf c+ \mathbf d= \mathbf 0$.)

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Aravin Peter, Bodor Mátyás, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Forrai Boldizsár, Gömze Norken, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Kovács Benedek Noel, Puppi Barna, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Vödrös Dániel László, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai