A B. 5342. feladat (2023. november)

B. 5342. Vegyünk négy másodszomszédos egész számot és képezzük összes lehetséges módon a páronkénti szorzataikat. Mutassuk meg, hogy ezek összege nem lehet négyzetszám.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük így a négy másodszomszédos egész számot: $\displaystyle n-3$, $\displaystyle n-1$, $\displaystyle n+1$, $\displaystyle n+3$. Ekkor a páronkénti szorzataiknak az összege

$\displaystyle \left((n+3)+(n-3)\right) \cdot \left((n+1)+(n-1)\right) + (n+3)(n-3) + (n+1)(n-1) = 6n^2-10.$

Ismert, hogy egy négyzetszám nem adhat 2 maradékot 3-mal osztva, ezért $\displaystyle 6n^2-10 = 3(2n^2-4) + 2$ nem lehet négyzetszám.

Statisztika:

189 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	124 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	15 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai