 |
A B. 5343. feladat (2023. november) |
B. 5343. Határozzuk meg, hogy az
$$\begin{align*} A & = 1! - 2! + 3! - 4! + \ldots + 2021! - 2022! + 2023! \quad\text{és}\\ B & =(1-2+3-4+\ldots+2021-2022+2023)! \end{align*}$$számok közül melyik a nagyobb.
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle A>B\).
Egyrészt, világos, hogy \(\displaystyle B=1012!\), hiszen kettesével csoportosítva a tagokat 1011 darab \(\displaystyle (-1)\) és a pár nélkül maradó 2023 összegét kapjuk.
Másrészt, \(\displaystyle A\geq -2022!+2023!=2022!(2023-1)=2022\cdot 2022!\), hiszen az \(\displaystyle A\)-t adó előjeles összeg
\(\displaystyle A=1!+(-2!+3!)+(-4!+5!)+\dots+(-2022!+2023!)\)
alakban is írható, ahol az összeadandók pozitívak.
Ezért \(\displaystyle B=1012!<2022!<A\), tehát valóban \(\displaystyle A\) a nagyobb.
Statisztika:
201 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 137 versenyző. 2 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 17 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai