A B. 5345. feladat (2023. november)

B. 5345. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben a beírt kör és a Feuerbach-kör koncentrikus, akkor a háromszög szabályos.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy $\displaystyle c\ge b\ge a$, és használjuk az ábra jelöléseit: a Feuerbach-kör és a beírt kör közös középpontja legyen $\displaystyle I$, a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontja $\displaystyle F$, továbbá a beírt kör érintési pontja a $\displaystyle BC$ oldalon $\displaystyle E$ pont.

Jól ismert, hogy a beírt körhöz a csúcsokból húzott érintőszakaszok hossza kifejezhető a háromszög oldalaival: $\displaystyle AE=s-a$, ahol $\displaystyle s$ a háromszög félkerülete. Ebből $\displaystyle EF=EA-FA=(s-a)-(c/2)=(b-a)/2$. Hasonlóan látható, hogy a háromszög másik két oldalán az érintési pont és a felezőpont közötti szakaszok $\displaystyle (c-a)/2$ és $\displaystyle (c-b)/2$ hosszúak.

Most vegyük észre, hogy a felezőpont és az érintési pont közé eső szakaszok mind egy-egy olyan derékszögű háromszög befogói, amelyeknek harmadik csúcsa az $\displaystyle I$ pont, s így átfogója a Feuerbach-kör $\displaystyle R/2$ sugara, másik befogója pedig a beírt kör $\displaystyle r$ sugara (lásd az ábrán színezett háromszögeket). Így ez a három háromszög egybevágó, következésképp oldalaik páronként egyenlőek, amiből

$\displaystyle b-a=c-b=c-a.$

Ebből $\displaystyle a=b=c$ azonnal adódik, ami igazolja a feladat állítását.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai