A B. 5345. feladat (2023. november)

B. 5345. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben a beírt kör és a Feuerbach-kör koncentrikus, akkor a háromszög szabályos.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy \(\displaystyle c\ge b\ge a\), és használjuk az ábra jelöléseit: a Feuerbach-kör és a beírt kör közös középpontja legyen \(\displaystyle I\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), továbbá a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\) oldalon \(\displaystyle E\) pont.

Jól ismert, hogy a beírt körhöz a csúcsokból húzott érintőszakaszok hossza kifejezhető a háromszög oldalaival: \(\displaystyle AE=s-a\), ahol \(\displaystyle s\) a háromszög félkerülete. Ebből \(\displaystyle EF=EA-FA=(s-a)-(c/2)=(b-a)/2\). Hasonlóan látható, hogy a háromszög másik két oldalán az érintési pont és a felezőpont közötti szakaszok \(\displaystyle (c-a)/2\) és \(\displaystyle (c-b)/2\) hosszúak.

Most vegyük észre, hogy a felezőpont és az érintési pont közé eső szakaszok mind egy-egy olyan derékszögű háromszög befogói, amelyeknek harmadik csúcsa az \(\displaystyle I\) pont, s így átfogója a Feuerbach-kör \(\displaystyle R/2\) sugara, másik befogója pedig a beírt kör \(\displaystyle r\) sugara (lásd az ábrán színezett háromszögeket). Így ez a három háromszög egybevágó, következésképp oldalaik páronként egyenlőek, amiből

\(\displaystyle b-a=c-b=c-a.\)

Ebből \(\displaystyle a=b=c\) azonnal adódik, ami igazolja a feladat állítását.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai