 |
A B. 5347. feladat (2023. november) |
B. 5347. Igazoljuk, hogy ha egy pozitív racionális \(\displaystyle r\) számra \(\displaystyle r^r\) is racionális, akkor \(\displaystyle r\) egész.
Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel az \(\displaystyle r\) racionális számot \(\displaystyle r=\frac{p}{q}\) alakban, ahol \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) relatív prím pozitív egész számok. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle r^r\) is racionális, ekkor felírható \(\displaystyle r^r=\frac{s}{t}\) alakban, ahol \(\displaystyle s\) és \(\displaystyle t\) relatív prím pozitív egész számok. Mivel
\(\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)^{p/q}=\frac{s}{t},\)
ezért
\(\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)^{p}=\left(\frac{s}{t}\right)^q,\)
és a nevezőkkel való átszorzás után
\(\displaystyle p^pt^q=q^ps^q.\)
Mivel \(\displaystyle (p,q)=1\), ezért \(\displaystyle q^p\mid t^q\), és mivel \(\displaystyle (s,t)=1\), ezért \(\displaystyle t^q\mid q^p\). Tehát a \(\displaystyle q^p\) és \(\displaystyle t^q\) pozitív egész számok osztják egymást, így egyenlők:
\(\displaystyle q^p=t^q.\)
Ezért \(\displaystyle q^p\) prímtényezős felbontásában minden prím kitevője osztható \(\displaystyle q\)-val, így \(\displaystyle (p,q)=1\) alapján már \(\displaystyle q\) prímtényezős felbontásában is minden kitevő osztható kell legyen \(\displaystyle q\)-val, tehát \(\displaystyle q\) egy \(\displaystyle q\)-adik hatvány: \(\displaystyle q=a^q\) valamely \(\displaystyle a\) pozitív egészre. Azonban \(\displaystyle a\geq 2\) esetén \(\displaystyle q=a^q\geq 2^q>q\) ellentmondásra vezetne, tehát csak \(\displaystyle a=1\) lehet. Így \(\displaystyle q=1\), és ezért \(\displaystyle r=p/q=p\) valóban egész.
Statisztika:
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai