A B. 5349. feladat (2023. november)

B. 5349. A $\displaystyle P$ paralelepipedon minden éle legfeljebb egységnyi. Legyen $\displaystyle X$ a $\displaystyle P$ egy tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy van olyan csúcsa $\displaystyle P$-nek, ami $\displaystyle X$-től legfeljebb $\displaystyle \sqrt 3 /2$ távolságra van.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vetítsük le merőlegesen az $\displaystyle X$ pontot a $\displaystyle P$ $\displaystyle X$-hez (egyik) legközelebbi $\displaystyle L$ lapjára, így kapjuk $\displaystyle X_1$-t. ($\displaystyle X_1$ valóban $\displaystyle L$ lapra esik, különben $\displaystyle XX_1$ vetítő szakasz metszené $\displaystyle P$ egy $\displaystyle L$-től különböző lapját, amely lap így közelebb lenne $\displaystyle X$-hez, mint $\displaystyle L$.) Ezután vetítsük $\displaystyle X_1$-t az $\displaystyle L$ paralelogramma hozzá legközelebb eső (egyik) $\displaystyle e$ élére, a vetületet jelölje $\displaystyle X_2$. (Hasonlóan, mint az előbb, $\displaystyle X_2$ ráesik $\displaystyle e$ élre.) Végül az $\displaystyle e$ él $\displaystyle X_2$-höz közelebbi végpontja legyen $\displaystyle A$. Mivel $\displaystyle P$ minden éle legfeljebb egységnyi, így a paralelepipedon minden magassága is legfeljebb $\displaystyle 1$, továbbá $\displaystyle L$ minden magassága is legfeljebb $\displaystyle 1$. Ezért $\displaystyle XX_1\le 1/2$ és $\displaystyle X_1X_2\le 1/2$, valamint nyilvánvalóan $\displaystyle X_2A\le 1/2$. Ezekből a térbeli Pitagorasz-tétel szerint

$\displaystyle XA^2=XX_1^2+X_1X_2^2+X_2A^2\le \left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2=\frac 34.$

Ebből az állítás következik.

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ali Richárd, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Horák Zsófia, Kovács Benedek Noel, Sárdinecz Dóra, Tamás Gellért, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
5 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Veres Dorottya.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai