 |
A B. 5349. feladat (2023. november) |
B. 5349. A \(\displaystyle P\) paralelepipedon minden éle legfeljebb egységnyi. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy van olyan csúcsa \(\displaystyle P\)-nek, ami \(\displaystyle X\)-től legfeljebb \(\displaystyle \sqrt 3 /2\) távolságra van.
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Vetítsük le merőlegesen az \(\displaystyle X\) pontot a \(\displaystyle P\) \(\displaystyle X\)-hez (egyik) legközelebbi \(\displaystyle L\) lapjára, így kapjuk \(\displaystyle X_1\)-t. (\(\displaystyle X_1\) valóban \(\displaystyle L\) lapra esik, különben \(\displaystyle XX_1\) vetítő szakasz metszené \(\displaystyle P\) egy \(\displaystyle L\)-től különböző lapját, amely lap így közelebb lenne \(\displaystyle X\)-hez, mint \(\displaystyle L\).) Ezután vetítsük \(\displaystyle X_1\)-t az \(\displaystyle L\) paralelogramma hozzá legközelebb eső (egyik) \(\displaystyle e\) élére, a vetületet jelölje \(\displaystyle X_2\). (Hasonlóan, mint az előbb, \(\displaystyle X_2\) ráesik \(\displaystyle e\) élre.) Végül az \(\displaystyle e\) él \(\displaystyle X_2\)-höz közelebbi végpontja legyen \(\displaystyle A\). Mivel \(\displaystyle P\) minden éle legfeljebb egységnyi, így a paralelepipedon minden magassága is legfeljebb \(\displaystyle 1\), továbbá \(\displaystyle L\) minden magassága is legfeljebb \(\displaystyle 1\). Ezért \(\displaystyle XX_1\le 1/2\) és \(\displaystyle X_1X_2\le 1/2\), valamint nyilvánvalóan \(\displaystyle X_2A\le 1/2\). Ezekből a térbeli Pitagorasz-tétel szerint
\(\displaystyle XA^2=XX_1^2+X_1X_2^2+X_2A^2\le \left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2=\frac 34.\)
Ebből az állítás következik.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ali Richárd, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Horák Zsófia, Kovács Benedek Noel, Sárdinecz Dóra, Tamás Gellért, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan. 5 pontot kapott: Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Veres Dorottya. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai