A B. 5350. feladat (2023. december)

B. 5350. $\displaystyle a)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ pozitív egész számok, amelyekre $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ számtani közepe nagyobb, mint $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ négyzetes közepe, de $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ mértani közepe kisebb, mint $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ harmonikus közepe?

$\displaystyle b)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ pozitív egész számok, amelyekre $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ mértani közepe nagyobb, mint $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ négyzetes közepe, de $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ számtani közepe kisebb, mint $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ harmonikus közepe?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Vannak ilyen számok, például $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=9$, $\displaystyle c=d=4$ esetén

$\displaystyle \frac{a+b}{2} = \frac{1+9}{2} = 5 \quad > \quad 4 = \sqrt{\frac{4^2+4^2}2} = \sqrt{\frac{c^2+d^2}2},$

míg

$\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{1 \cdot 9} = 3 \quad < \quad 4 = \frac2{\frac1{4}+\frac1{4}} = \frac2{\frac1{c}+\frac1{d}}.$

b) A következő egyenlőtlenség-lánc első és harmadik egyenlőtlenségét a feladat feltételei adják; a második egyenlőtlenség a mértani és számtani közép közti egyenlőtlenség $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ számokra; míg az utolsó egyenlőtlenség a harmonikus és négyzetes közép közti ismert egyenlőtlenség $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ számokra:

$\displaystyle \sqrt{\frac{c^2+d^2}2} < \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} < \frac2{\frac1{c}+\frac1{d}} \leq \sqrt{\frac{c^2+d^2}2}.$

Ellentmondást kaptunk, tehát nincsenek ilyen $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ pozitív számok.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	105 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai