 |
A B. 5350. feladat (2023. december) |
B. 5350. \(\displaystyle a)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív egész számok, amelyekre \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számtani közepe nagyobb, mint \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) négyzetes közepe, de \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) mértani közepe kisebb, mint \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) harmonikus közepe?
\(\displaystyle b)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív egész számok, amelyekre \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) mértani közepe nagyobb, mint \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) négyzetes közepe, de \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számtani közepe kisebb, mint \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) harmonikus közepe?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Vannak ilyen számok, például \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=9\), \(\displaystyle c=d=4\) esetén
\(\displaystyle \frac{a+b}{2} = \frac{1+9}{2} = 5 \quad > \quad 4 = \sqrt{\frac{4^2+4^2}2} = \sqrt{\frac{c^2+d^2}2}, \)
míg
\(\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{1 \cdot 9} = 3 \quad < \quad 4 = \frac2{\frac1{4}+\frac1{4}} = \frac2{\frac1{c}+\frac1{d}}. \)
b) A következő egyenlőtlenség-lánc első és harmadik egyenlőtlenségét a feladat feltételei adják; a második egyenlőtlenség a mértani és számtani közép közti egyenlőtlenség \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számokra; míg az utolsó egyenlőtlenség a harmonikus és négyzetes közép közti ismert egyenlőtlenség \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) számokra:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{c^2+d^2}2} < \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} < \frac2{\frac1{c}+\frac1{d}} \leq \sqrt{\frac{c^2+d^2}2}. \)
Ellentmondást kaptunk, tehát nincsenek ilyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számok.
Statisztika:
146 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 105 versenyző. 2 pontot kapott: 22 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 10 dolgozat.
A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai