A B. 5351. feladat (2023. december)

B. 5351. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög egy tetszőleges belső pontja \(\displaystyle P\). Az \(\displaystyle AB\)-vel \(\displaystyle P\)-n keresztül húzott párhuzamos a \(\displaystyle BC\) oldalt \(\displaystyle C_1\), az \(\displaystyle AC\) oldalt \(\displaystyle C_2\) pontban metszi. Hasonlóan, a \(\displaystyle P\)-n keresztül \(\displaystyle BC\)-vel húzott párhuzamos az \(\displaystyle AC\) oldalt \(\displaystyle A_1\), az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle A_2\) pontban; végül az \(\displaystyle AC\)-vel húzott párhuzamos \(\displaystyle AB\)-t \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle B_2\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle A_2B_2C_2\) háromszögek területe egyenlő.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldala egységnyi, a párhuzamosok által az oldalakból levágott szakaszok az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) oldalakkal húzott párhuzamosok esetében rendre \(\displaystyle BC_1=AC_2=x\), \(\displaystyle C_1C=C_2C=1-x\), \(\displaystyle CA_1=BA_2=y\), \(\displaystyle A_1A=A_2A=1-y\), \(\displaystyle AB_1=CB_2=z\), \(\displaystyle B_1B=B_2B=1-z\) az ábra szerint.

A két háromszög területének egyenlőségéhez megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszögnek az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle A_2B_2C_2\) háromszögön kívül eső részei, a három-három ,,levágott" háromszög területének összege megegyezik. Ezek területének gyors kiszámítása lehetséges, mert a \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget közrefogó oldalak bármelyikéhez húzott magasság a háromszögből egy félszabályos háromszöget vág le, amelynek hossza így a másik oldal \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)-szöröse. (Számolhatunk trigonometrikus területképlettel is.) A területek összegéből ennek megfelelően a \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\) kiemelhető és

\(\displaystyle T(A_1B_1C_1)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[(1-x)y+(1-y)z+(1-z)x\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}(x+y+z-xy-yz-zx).\)

Ezzel teljesen megegyező módszerrel

\(\displaystyle T(A_2B_2C_2)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[(1-y)x+(1-x)z+(1-z)y\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}(x+y+z-xy-yz-zx).\)

A két terület megegyezik.

Megjegyzés: Az \(\displaystyle ABC\) háromszögről nem szükséges feltenni, hogy szabályos. Tetszőleges háromszögre teljesül, hogy a feladatban leírt módon képzett két háromszög területe megegyezik. Ennek belátásához affinitással transzformáljuk a háromszöget szabályos háromszögbe, és ezzel visszavezetjük a problémát a már megoldott feladatra.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai