A B. 5351. feladat (2023. december)

B. 5351. Az $\displaystyle ABC$ szabályos háromszög egy tetszőleges belső pontja $\displaystyle P$. Az $\displaystyle AB$-vel $\displaystyle P$-n keresztül húzott párhuzamos a $\displaystyle BC$ oldalt $\displaystyle C_1$, az $\displaystyle AC$ oldalt $\displaystyle C_2$ pontban metszi. Hasonlóan, a $\displaystyle P$-n keresztül $\displaystyle BC$-vel húzott párhuzamos az $\displaystyle AC$ oldalt $\displaystyle A_1$, az $\displaystyle AB$ oldalt $\displaystyle A_2$ pontban; végül az $\displaystyle AC$-vel húzott párhuzamos $\displaystyle AB$-t $\displaystyle B_1$, $\displaystyle BC$-t $\displaystyle B_2$ pontban metszi. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek területe egyenlő.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög oldala egységnyi, a párhuzamosok által az oldalakból levágott szakaszok az $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ oldalakkal húzott párhuzamosok esetében rendre $\displaystyle BC_1=AC_2=x$, $\displaystyle C_1C=C_2C=1-x$, $\displaystyle CA_1=BA_2=y$, $\displaystyle A_1A=A_2A=1-y$, $\displaystyle AB_1=CB_2=z$, $\displaystyle B_1B=B_2B=1-z$ az ábra szerint.

A két háromszög területének egyenlőségéhez megmutatjuk, hogy az $\displaystyle ABC$ háromszögnek az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögön kívül eső részei, a három-három ,,levágott" háromszög területének összege megegyezik. Ezek területének gyors kiszámítása lehetséges, mert a $\displaystyle 60^\circ$-os szöget közrefogó oldalak bármelyikéhez húzott magasság a háromszögből egy félszabályos háromszöget vág le, amelynek hossza így a másik oldal $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$-szöröse. (Számolhatunk trigonometrikus területképlettel is.) A területek összegéből ennek megfelelően a $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$ kiemelhető és

$\displaystyle T(A_1B_1C_1)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[(1-x)y+(1-y)z+(1-z)x\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}(x+y+z-xy-yz-zx).$

Ezzel teljesen megegyező módszerrel

$\displaystyle T(A_2B_2C_2)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[(1-y)x+(1-x)z+(1-z)y\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}(x+y+z-xy-yz-zx).$

A két terület megegyezik.

Megjegyzés: Az $\displaystyle ABC$ háromszögről nem szükséges feltenni, hogy szabályos. Tetszőleges háromszögre teljesül, hogy a feladatban leírt módon képzett két háromszög területe megegyezik. Ennek belátásához affinitással transzformáljuk a háromszöget szabályos háromszögbe, és ezzel visszavezetjük a problémát a már megoldott feladatra.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai