A B. 5358. feladat (2024. január)

B. 5358. Legfeljebb hány különböző egész számot lehet megadni úgy, hogy közülük bármely kettő összege kettőhatvány (a 2-nek nemnegatív egész kivetős hatványa) legyen?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Három egész számot meg lehet így adni, például: $\displaystyle -1$, $\displaystyle 3$ és $\displaystyle 5$. (Ekkor a páronkénti összegek: $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 8$).

Háromnál többet azonban nem lehet megadni. Egyrészt, legfeljebb egy negatív lehet a megadott számok között, hiszen két negatív összege is negatív volna. Másrészt, ha lenne három pozitív: $\displaystyle 0 < a < b < c$ a megadott számok között, akkor valamilyen $\displaystyle k, \ell, m \neq 0$ egészekkel teljesülne az alábbi egyenletrendszer:

Itt $\displaystyle a+b < a+c < b+c$, tehát $\displaystyle k < \ell < m$. Ekkor teljesülne, hogy

$\displaystyle 2a = (a+b) + (a+c) - (b+c) = 2^k + 2^{\ell} - 2^m < 2^{\ell} + 2^{\ell} - 2^m = 2^{\ell+1} - 2^m \leq 0,$

ellentmondva az $\displaystyle a > 0$ feltételnek.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	72 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai