Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5358. feladat (2024. január)

B. 5358. Legfeljebb hány különböző egész számot lehet megadni úgy, hogy közülük bármely kettő összege kettőhatvány (a 2-nek nemnegatív egész kivetős hatványa) legyen?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Három egész számot meg lehet így adni, például: \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). (Ekkor a páronkénti összegek: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\)).

Háromnál többet azonban nem lehet megadni. Egyrészt, legfeljebb egy negatív lehet a megadott számok között, hiszen két negatív összege is negatív volna. Másrészt, ha lenne három pozitív: \(\displaystyle 0 < a < b < c\) a megadott számok között, akkor valamilyen \(\displaystyle k, \ell, m \neq 0\) egészekkel teljesülne az alábbi egyenletrendszer:

$$\begin{eqnarray*} a + b &=& 2^k, \\ a + c &=& 2^{\ell}, \\ b + c &=& 2^m. \end{eqnarray*}$$

Itt \(\displaystyle a+b < a+c < b+c\), tehát \(\displaystyle k < \ell < m\). Ekkor teljesülne, hogy

\(\displaystyle 2a = (a+b) + (a+c) - (b+c) = 2^k + 2^{\ell} - 2^m < 2^{\ell} + 2^{\ell} - 2^m = 2^{\ell+1} - 2^m \leq 0, \)

ellentmondva az \(\displaystyle a > 0\) feltételnek.


Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:72 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:9 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai