A B. 5359. feladat (2024. január)

B. 5359. $\displaystyle a)$ Van-e olyan háromszög, amelyben minden oldal hossza egész, és a területe kisebb, mint $\displaystyle 1/10$?

$\displaystyle b)$ Van-e olyan négyszög, amelyben minden oldal hossza egész, és a területe kisebb, mint $\displaystyle 1/10$?

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Ha a háromszög három oldala az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ egész számok, akkor a háromszög félkerületére $\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3}{2}$. Továbbá a háromszög-egyenlőtlenség miatt $\displaystyle a<b+c$, az oldalak egész volta miatt ebből következik, hogy $\displaystyle a +1 \leq b+c$ és így $\displaystyle 1 \leq -a+b+c$. Így az $\displaystyle (s-a)=\frac{-a+b+c}{2}$, továbbá (hasonlóan) az $\displaystyle (s-b)$ és $\displaystyle (s-c)$ különbségek mindegyike legalább $\displaystyle \frac{1}{2}$. Héron képletét használva a háromszög területére teljesül: $\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \geq \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Mivel $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0,433$ nagyobb, mint $\displaystyle 1/10$, ezért nincs egész oldalú $\displaystyle 1/10$-nél kisebb területű háromszög.

$\displaystyle b)$ Tekintsünk egy olyan rombuszt, amelynek oldala egységnyi, a rombusz kisebbik szögét pedig jelöljük $\displaystyle \alpha$-val. A rombusz területe ekkor $\displaystyle T=1^2 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha$. Mivel hegyesszögekre a szinuszfüggvény $\displaystyle 0$ és $\displaystyle 1$ között minden értéket felvesz, így felvesz $\displaystyle 1/10$-nél kisebb értéket is. (Például $\displaystyle \alpha = 5^{\circ}$ esetén $\displaystyle T=\sin 5^{\circ} \approx 0,087$). Azaz a válasz igen; van egész oldalú $\displaystyle 1/10$-nél kisebb területű négyszög.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	100 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai