A B. 5359. feladat (2024. január)

B. 5359. \(\displaystyle a)\) Van-e olyan háromszög, amelyben minden oldal hossza egész, és a területe kisebb, mint \(\displaystyle 1/10\)?

\(\displaystyle b)\) Van-e olyan négyszög, amelyben minden oldal hossza egész, és a területe kisebb, mint \(\displaystyle 1/10\)?

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a háromszög három oldala az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számok, akkor a háromszög félkerületére \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3}{2}\). Továbbá a háromszög-egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle a<b+c\), az oldalak egész volta miatt ebből következik, hogy \(\displaystyle a +1 \leq b+c\) és így \(\displaystyle 1 \leq -a+b+c\). Így az \(\displaystyle (s-a)=\frac{-a+b+c}{2}\), továbbá (hasonlóan) az \(\displaystyle (s-b)\) és \(\displaystyle (s-c)\) különbségek mindegyike legalább \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Héron képletét használva a háromszög területére teljesül: \(\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \geq \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Mivel \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0,433\) nagyobb, mint \(\displaystyle 1/10\), ezért nincs egész oldalú \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb területű háromszög.

\(\displaystyle b)\) Tekintsünk egy olyan rombuszt, amelynek oldala egységnyi, a rombusz kisebbik szögét pedig jelöljük \(\displaystyle \alpha\)-val. A rombusz területe ekkor \(\displaystyle T=1^2 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha\). Mivel hegyesszögekre a szinuszfüggvény \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) között minden értéket felvesz, így felvesz \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb értéket is. (Például \(\displaystyle \alpha = 5^{\circ}\) esetén \(\displaystyle T=\sin 5^{\circ} \approx 0,087\)). Azaz a válasz igen; van egész oldalú \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb területű négyszög.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	100 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai