 |
A B. 5361. feladat (2024. január) |
B. 5361. Jelölje \(\displaystyle a_n\) azt, hogy \(\displaystyle 2n\) hányféleképpen áll elő két pozitív prím összegeként. Igaz-e, hogy az \(\displaystyle (a_n)\) sorozat valahonnan kezdve szigorúan monoton növekedő?
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Belátjuk, hogy az \(\displaystyle (a_n)\) sorozat nem szigorúan növekedő semmilyen indextől kezdve sem. Tegyük fel indirekten, hogy \(\displaystyle n=k\)-tól kezdve szigorúan növekedő. Ekkor, mivel a sorozat elemei egész számok, ezért \(\displaystyle k<n\) esetén \(\displaystyle a_n>a_k+(n-k)\geq n-k\). Speciálisan, \(\displaystyle a_{4k}\geq 3k\), azonban a \(\displaystyle 2n=8k\) szám lehetséges előállításai, vagyis \(\displaystyle 1+(8k-1), 2+(8k-2),\dots,4k+4k\) között minden másodikban párosak az összeadandók, és a nagyobbik tag biztosan nem a 2. Így a \(\displaystyle 4k\) lehetséges előállítás közül legfeljebb \(\displaystyle 2k\)-ban lehet mindkét összeadandó prím, ami ellentmond az \(\displaystyle a_{4k}\geq 3k\) becslésnek. Ezzel az állításunkat bizonyítottuk.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ali Richárd, Baran Júlia, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Erdélyi Kata, Fajszi Karsa, Gömze Norken, Görömbey Tamás, Hodossy Réka, Holló Martin, Juhász-Molnár Erik, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Barnabás, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Nagy 665 Martin, Németh Bernát, Op Den Kelder Ábel, Ostyáni Anna, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szemlér Bálint, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan. 3 pontot kapott: Horák Zsófia, Kerekes András, Klement Tamás, Miszori Gergő, Molnár István Ádám, Morvai Várkony Albert, Tran Dávid, Vigh 279 Zalán. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai