A B. 5362. feladat (2024. január)

B. 5362. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle BAC\sphericalangle=50^\circ$ és $\displaystyle ABC\sphericalangle=70^\circ$. Az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BC$ oldalakon felvesszük az $\displaystyle E$ és $\displaystyle D$ pontokat úgy, hogy $\displaystyle ABE\sphericalangle=BAD\sphericalangle= 30^\circ$. Az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BE$ szakaszok metszéspontja $\displaystyle M$. Számítsuk ki az $\displaystyle ACM\sphericalangle$ és a $\displaystyle BED\sphericalangle$ szögeket.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az alábbi ábrát!

Mivel $\displaystyle BAC\sphericalangle=50^\circ$ és $\displaystyle ABC\sphericalangle=70^\circ$, a háromszög harmadik szöge $\displaystyle ACB\sphericalangle=60^\circ$, és így $\displaystyle ECD\sphericalangle=60^\circ$. Az $\displaystyle ABM$ egyenlő szárú háromszögben $\displaystyle AMB\sphericalangle=120^\circ$, és így ezen szög csúcsszögére, a $\displaystyle DME\sphericalangle$-re is teljesül, hogy a nagysága $\displaystyle 120^\circ$. Azaz a $\displaystyle DCEM$ négyszög két szemközti ($\displaystyle C$-nél és $\displaystyle M$-nél) lévő szögének összege $\displaystyle 180^{\circ}$, vagyis $\displaystyle DCEM$ húrnégyszög és köré kör rajzolható.

Az $\displaystyle ABM$ egyenlő szárú háromszög $\displaystyle M$ csúcsa mint középpont körül írjunk $\displaystyle MA = MB$ sugarú kört. $\displaystyle AMB \sphericalangle =120^{\circ}$ az $\displaystyle AB$ (rövidebb) ívhez tartozó középponti szög a körben, ezért a $\displaystyle BA$ (hosszabbik) látószögkörív pontosan azon $\displaystyle P$ pontokat tartalmazza a síkon, emelyekre $\displaystyle APB \sphericalangle = 60^{\circ}$; azaz a $\displaystyle C$ pont rajta van ezen a körön (és így $\displaystyle M$ az $\displaystyle ABC$ köré írt körének a középpontja).

Az $\displaystyle AMC$ egyenlő szárú háromszögben $\displaystyle \underline{ACM \sphericalangle} = CAM \sphericalangle = 50^{\circ} - 30^{\circ}=\underline{20^{\circ}}$, továbbá $\displaystyle MCB \sphericalangle = MBC \sphericalangle = 70^{\circ} - 30^{\circ}=40^{\circ}$, és így nyilván $\displaystyle MCD \sphericalangle =40^{\circ}$.

$\displaystyle DCEM$ köré írt körében $\displaystyle MED \sphericalangle$ és $\displaystyle MCD \sphericalangle$ egyaránt a (rövidebb) $\displaystyle MD$ ívhez tartozó kerületi szög, így $\displaystyle MED \sphericalangle= MCD \sphericalangle = 40^{\circ}$. Mivel $\displaystyle BED \sphericalangle= MED \sphericalangle$, így $\displaystyle \underline{BED \sphericalangle= 40^{\circ}}$.

Azaz a kérdéses szögek: $\displaystyle ACM\sphericalangle = 20^{\circ}$ és a $\displaystyle BED\sphericalangle = 40^{\circ}$.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai