 |
A B. 5362. feladat (2024. január) |
B. 5362. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BAC\sphericalangle=50^\circ\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=70^\circ\). Az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakon felvesszük az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle D\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle ABE\sphericalangle=BAD\sphericalangle= 30^\circ\). Az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BE\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). Számítsuk ki az \(\displaystyle ACM\sphericalangle\) és a \(\displaystyle BED\sphericalangle\) szögeket.
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az alábbi ábrát!
Mivel \(\displaystyle BAC\sphericalangle=50^\circ\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=70^\circ\), a háromszög harmadik szöge \(\displaystyle ACB\sphericalangle=60^\circ\), és így \(\displaystyle ECD\sphericalangle=60^\circ\). Az \(\displaystyle ABM\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle AMB\sphericalangle=120^\circ\), és így ezen szög csúcsszögére, a \(\displaystyle DME\sphericalangle\)-re is teljesül, hogy a nagysága \(\displaystyle 120^\circ\). Azaz a \(\displaystyle DCEM\) négyszög két szemközti (\(\displaystyle C\)-nél és \(\displaystyle M\)-nél) lévő szögének összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), vagyis \(\displaystyle DCEM\) húrnégyszög és köré kör rajzolható.
Az \(\displaystyle ABM\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle M\) csúcsa mint középpont körül írjunk \(\displaystyle MA = MB\) sugarú kört. \(\displaystyle AMB \sphericalangle =120^{\circ}\) az \(\displaystyle AB\) (rövidebb) ívhez tartozó középponti szög a körben, ezért a \(\displaystyle BA\) (hosszabbik) látószögkörív pontosan azon \(\displaystyle P\) pontokat tartalmazza a síkon, emelyekre \(\displaystyle APB \sphericalangle = 60^{\circ}\); azaz a \(\displaystyle C\) pont rajta van ezen a körön (és így \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle ABC\) köré írt körének a középpontja).
Az \(\displaystyle AMC\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle \underline{ACM \sphericalangle} = CAM \sphericalangle = 50^{\circ} - 30^{\circ}=\underline{20^{\circ}}\), továbbá \(\displaystyle MCB \sphericalangle = MBC \sphericalangle = 70^{\circ} - 30^{\circ}=40^{\circ}\), és így nyilván \(\displaystyle MCD \sphericalangle =40^{\circ}\).
\(\displaystyle DCEM\) köré írt körében \(\displaystyle MED \sphericalangle\) és \(\displaystyle MCD \sphericalangle\) egyaránt a (rövidebb) \(\displaystyle MD\) ívhez tartozó kerületi szög, így \(\displaystyle MED \sphericalangle= MCD \sphericalangle = 40^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle BED \sphericalangle= MED \sphericalangle\), így \(\displaystyle \underline{BED \sphericalangle= 40^{\circ}}\).
Azaz a kérdéses szögek: \(\displaystyle ACM\sphericalangle = 20^{\circ}\) és a \(\displaystyle BED\sphericalangle = 40^{\circ}\).
Statisztika:
105 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai