 |
A B. 5363. feladat (2024. január) |
B. 5363. Egy szabályos négyoldalú gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet, a gúla csúcsa az \(\displaystyle E\) pont. Legyen a \(\displaystyle CE\) oldalél felezőpontja az \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BE\) oldalél \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja pedig a \(\displaystyle H\) pont. Milyen arányban osztja ketté az \(\displaystyle ABCDE\) gúla térfogatát az \(\displaystyle AHF\) sík?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle AHF\) sík és a \(\displaystyle DE\) él metszéspontját \(\displaystyle G\)-vel, a gúla magasságának talppontját pedig \(\displaystyle T\)-vel. Először azt fogjuk megvizsgálni, hogy a \(\displaystyle G\) pont milyen arányban osztja ketté a \(\displaystyle DE\) élt. Ennek érdekében először tekintsük a gúla \(\displaystyle ACE\) síkmetszetét.
Ez egy egyenlő szárú háromszög, amelyben \(\displaystyle AF\) az \(\displaystyle EC\) szárhoz tartozó súlyvonal. Ez a súlyvonal az alaphoz tartozó magasságot – és egyben súlyvonalat – a háromszög \(\displaystyle S\) súlypontjában metszi. A súlypont harmadolja az \(\displaystyle ET\) súlyvonalat.
A folytatáshoz vegyük a \(\displaystyle BDE\) síkmetszetet. Ez az előbbivel egybevágó egyenlő szárú háromszög.
Ebben a háromszögben a \(\displaystyle H, G\) és \(\displaystyle S\) pontok egy egyenesbe esnek, \(\displaystyle H\) a szárat, \(\displaystyle S\) pedig az alaphoz tartozó magasságot harmadolja, így \(\displaystyle HS\) párhuzamos a \(\displaystyle BD\) alappal, vagyis a másik szárat, \(\displaystyle DE\)-t is harmadolja.
A \(\displaystyle GH\) szakasz merőleges az \(\displaystyle ACE\) síkra, tehát az \(\displaystyle AF\) szakaszra is, vagyis az \(\displaystyle AHFG\) négyszög deltoid.
A továbbiakban jelöljük az eredeti gúla alapélének hosszát \(\displaystyle a\)-val, magasságát \(\displaystyle M\)-mel, az \(\displaystyle AHFGE\) gúla magaságát \(\displaystyle x\)-szel, az \(\displaystyle AF\) szakasz hosszát \(\displaystyle y\)-nal.
Az \(\displaystyle ABCDE\) gúla térfogata \(\displaystyle V=\frac{1}{3}a^2M\). Számítsuk ki a \(\displaystyle AHFGE\) gúla térfogatát. Alaplapja deltoid, amelynek egyik átlója \(\displaystyle AF=y\), erre merőleges másik átlója a \(\displaystyle HG\) szakasz. A gúla magassága az \(\displaystyle ACE\) síkra vonatkozó szimmetria miatt egyben az \(\displaystyle AFE\) háromszög \(\displaystyle AF\)-hez tartozó magassága is. Az \(\displaystyle y\) ennek a háromszögnek súlyvonala, így az \(\displaystyle AFE\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ACE\) háromszög területének. A jelölésekkel egyrészt
\(\displaystyle AF\cdot x=\frac{1}{2}AC\cdot M=\frac{aM\sqrt{2}}{2}.\)
Másrészt \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle G\) harmadolópontok, ezért \(\displaystyle HG=\frac{2}{3}a\sqrt{2}\). Innen az \(\displaystyle AHFGE\) gúla térfogata
\(\displaystyle V_{AHFGE}=\frac{1}{3}\frac{y\cdot HG\cdot x}{2}=\frac{1}{6}\frac{aM\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{1}{9}a^2M=\frac{1}{3}V_{ABCDE}.\)
A megadott sík \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja ketté a gúla térfogatát.
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Deák Boldizsár Tamás, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fórizs Emma, Gyenes Károly, Holló Martin, Horák Zsófia, Juhász-Molnár Erik, Kovács Benedek Noel, Ligeti Ábel, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szakács Ábel, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás. 4 pontot kapott: Forrai Boldizsár, Gömze Norken, Hodossy Réka, Keresztély Zsófia, Kővágó Edit Gréta, Odabas Zeki, Sha Jingyuan, Varga 511 Vivien, Wágner Márton, Zhai Yu Fan. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai