A B. 5363. feladat (2024. január)

B. 5363. Egy szabályos négyoldalú gúla alaplapja az $\displaystyle ABCD$ négyzet, a gúla csúcsa az $\displaystyle E$ pont. Legyen a $\displaystyle CE$ oldalél felezőpontja az $\displaystyle F$, a $\displaystyle BE$ oldalél $\displaystyle B$-hez közelebbi harmadolópontja pedig a $\displaystyle H$ pont. Milyen arányban osztja ketté az $\displaystyle ABCDE$ gúla térfogatát az $\displaystyle AHF$ sík?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az $\displaystyle AHF$ sík és a $\displaystyle DE$ él metszéspontját $\displaystyle G$-vel, a gúla magasságának talppontját pedig $\displaystyle T$-vel. Először azt fogjuk megvizsgálni, hogy a $\displaystyle G$ pont milyen arányban osztja ketté a $\displaystyle DE$ élt. Ennek érdekében először tekintsük a gúla $\displaystyle ACE$ síkmetszetét.

Ez egy egyenlő szárú háromszög, amelyben $\displaystyle AF$ az $\displaystyle EC$ szárhoz tartozó súlyvonal. Ez a súlyvonal az alaphoz tartozó magasságot – és egyben súlyvonalat – a háromszög $\displaystyle S$ súlypontjában metszi. A súlypont harmadolja az $\displaystyle ET$ súlyvonalat.

A folytatáshoz vegyük a $\displaystyle BDE$ síkmetszetet. Ez az előbbivel egybevágó egyenlő szárú háromszög.

Ebben a háromszögben a $\displaystyle H, G$ és $\displaystyle S$ pontok egy egyenesbe esnek, $\displaystyle H$ a szárat, $\displaystyle S$ pedig az alaphoz tartozó magasságot harmadolja, így $\displaystyle HS$ párhuzamos a $\displaystyle BD$ alappal, vagyis a másik szárat, $\displaystyle DE$-t is harmadolja.

A $\displaystyle GH$ szakasz merőleges az $\displaystyle ACE$ síkra, tehát az $\displaystyle AF$ szakaszra is, vagyis az $\displaystyle AHFG$ négyszög deltoid.

A továbbiakban jelöljük az eredeti gúla alapélének hosszát $\displaystyle a$-val, magasságát $\displaystyle M$-mel, az $\displaystyle AHFGE$ gúla magaságát $\displaystyle x$-szel, az $\displaystyle AF$ szakasz hosszát $\displaystyle y$-nal.

Az $\displaystyle ABCDE$ gúla térfogata $\displaystyle V=\frac{1}{3}a^2M$. Számítsuk ki a $\displaystyle AHFGE$ gúla térfogatát. Alaplapja deltoid, amelynek egyik átlója $\displaystyle AF=y$, erre merőleges másik átlója a $\displaystyle HG$ szakasz. A gúla magassága az $\displaystyle ACE$ síkra vonatkozó szimmetria miatt egyben az $\displaystyle AFE$ háromszög $\displaystyle AF$-hez tartozó magassága is. Az $\displaystyle y$ ennek a háromszögnek súlyvonala, így az $\displaystyle AFE$ háromszög területe fele az $\displaystyle ACE$ háromszög területének. A jelölésekkel egyrészt

$\displaystyle AF\cdot x=\frac{1}{2}AC\cdot M=\frac{aM\sqrt{2}}{2}.$

Másrészt $\displaystyle H$ és $\displaystyle G$ harmadolópontok, ezért $\displaystyle HG=\frac{2}{3}a\sqrt{2}$. Innen az $\displaystyle AHFGE$ gúla térfogata

$\displaystyle V_{AHFGE}=\frac{1}{3}\frac{y\cdot HG\cdot x}{2}=\frac{1}{6}\frac{aM\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{1}{9}a^2M=\frac{1}{3}V_{ABCDE}.$

A megadott sík $\displaystyle 1:2$ arányban osztja ketté a gúla térfogatát.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Deák Boldizsár Tamás, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fórizs Emma, Gyenes Károly, Holló Martin, Horák Zsófia, Juhász-Molnár Erik, Kovács Benedek Noel, Ligeti Ábel, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szakács Ábel, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás.
4 pontot kapott:	Forrai Boldizsár, Gömze Norken, Hodossy Réka, Keresztély Zsófia, Kővágó Edit Gréta, Odabas Zeki, Sha Jingyuan, Varga 511 Vivien, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai