A B. 5365. feladat (2024. január)

B. 5365. Határozzuk meg a legkisebb $\displaystyle \alpha$ valós számot, amelyhez végtelen sok olyan $\displaystyle n$ pozitív egész számot lehet találni, amelyre $\displaystyle \sqrt{13}\cdot n$ és a hozzá legközelebbi egész szám különbsége kisebb, mint $\displaystyle \alpha /n$.

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás első részében alsó becslést adunk az $\displaystyle \alpha$ értékére; a második részben megmutatjuk, hogy az alsó becslésünk megfelelő $\displaystyle \alpha$ értéket ad.

I. Minden pozitív egész $\displaystyle n$-hez legyen $\displaystyle k(n)=\Big[\sqrt{13}n+\tfrac12\Big]$, a $\displaystyle \sqrt{13}n$-hez legközelebbi egész szám. (Világos, hogy $\displaystyle k(n)$ pozitív, mert $\displaystyle \sqrt{13}n+\tfrac12>4$.) Olyan $\displaystyle \alpha$ számot keresünk, amelyhez léteznek olyan $\displaystyle n_1<n_2<\ldots$ számok, amelyekre

$\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| < \dfrac{\alpha}{n_i}.$

Szorozzuk meg a feltételt $\displaystyle n_i$-vel, továbbá ,,bővítsük", vagyis szorozzuk meg és osszuk el $\displaystyle \Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)$-vel:

$\displaystyle \alpha > \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot n_i = \dfrac{\Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot\Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{\big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i.$

A számlálóban az $\displaystyle \big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|$ egész szám, de nem lehet $\displaystyle 0$, tehát legalább $\displaystyle 1$. A nevezőben pedig $\displaystyle k(n_i)<\sqrt{13}n_i+\tfrac12$. Ezért

$\displaystyle \alpha > \dfrac{1}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i > \dfrac{1}{\Big(\sqrt{13}n_i+\frac12\Big)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{1}{2\sqrt{13}+\frac1{2n_i}}.$

Az $\displaystyle i\to\infty$ határátmenetből azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \alpha \ge \frac{1}{2\sqrt{13}}.$

II. Megmutatjuk, hogy az $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}$ számhoz valóban létezik végtelen sok alkalmas pozitív egész $\displaystyle n$. Az I. részből világos, hogy olyan $\displaystyle n_i,k_i$ egészeket érdemes keresnünk, amelyekre $\displaystyle \big|k_i^2-13n_i^2\big|=1$, illetve $\displaystyle k_i>\sqrt{13}n$; a kettőt összevetve

Az $\displaystyle x^2-dy^2=1$ diofantikus egyenletet Pell-egyenletnek nevezik, és jól ismert, hogy ha $\displaystyle d$ pozitív egész, de nem négyzetszám, akkor végtelen sok pozitív egész megoldása van. A $\displaystyle d=13$ esetben egy lehetséges konstrukció a következő.

Például próbálgatással megtalálhatjuk az $\displaystyle \big|x^2-13y^2\big|=1$ egyenlet egy megoldását: $\displaystyle 18^2-13\cdot5^2=-1$. A binomiális tétel szerint kifejtve, a $\displaystyle (18\pm5\sqrt{13})^{2i}$ számokat felírhatjuk $\displaystyle k_i\pm\sqrt{13}n_i$ alakban. Ezek szorzata

Mivel $\displaystyle 0<k_i-\sqrt{13}n_i=\Big(18-5\sqrt{13}\Big)^{2i}<\dfrac12$, az is igaz, hogy $\displaystyle k_i$ a $\displaystyle \sqrt{13}n_i$-hez legközelebbi egész, és $\displaystyle k_i>\sqrt{13}n_i$.

Ezért a kapott $\displaystyle k_i,n_i$ pozitív egészekre valóban teljesül, hogy

$\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| = k_i-\sqrt{13}n_i = \dfrac{k_i^2-13n_i^2}{k_i+\sqrt{13}n_i} < \dfrac{1}{\sqrt{13}n_i+\sqrt{13}n_i} = \frac{\alpha}{n_i}.$

Tehát, a keresett szám: $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}$.

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Holló Martin, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Szakács Ábel, Zhai Yu Fan.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai