A B. 5365. feladat (2024. január)

B. 5365. Határozzuk meg a legkisebb \(\displaystyle \alpha\) valós számot, amelyhez végtelen sok olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész számot lehet találni, amelyre \(\displaystyle \sqrt{13}\cdot n\) és a hozzá legközelebbi egész szám különbsége kisebb, mint \(\displaystyle \alpha /n\).

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás első részében alsó becslést adunk az \(\displaystyle \alpha\) értékére; a második részben megmutatjuk, hogy az alsó becslésünk megfelelő \(\displaystyle \alpha\) értéket ad.

I. Minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-hez legyen \(\displaystyle k(n)=\Big[\sqrt{13}n+\tfrac12\Big]\), a \(\displaystyle \sqrt{13}n\)-hez legközelebbi egész szám. (Világos, hogy \(\displaystyle k(n)\) pozitív, mert \(\displaystyle \sqrt{13}n+\tfrac12>4\).) Olyan \(\displaystyle \alpha\) számot keresünk, amelyhez léteznek olyan \(\displaystyle n_1<n_2<\ldots\) számok, amelyekre

\(\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| < \dfrac{\alpha}{n_i}. \)

Szorozzuk meg a feltételt \(\displaystyle n_i\)-vel, továbbá ,,bővítsük", vagyis szorozzuk meg és osszuk el \(\displaystyle \Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)\)-vel:

\(\displaystyle \alpha > \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot n_i = \dfrac{\Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot\Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{\big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i. \)

A számlálóban az \(\displaystyle \big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|\) egész szám, de nem lehet \(\displaystyle 0\), tehát legalább \(\displaystyle 1\). A nevezőben pedig \(\displaystyle k(n_i)<\sqrt{13}n_i+\tfrac12\). Ezért

\(\displaystyle \alpha > \dfrac{1}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i > \dfrac{1}{\Big(\sqrt{13}n_i+\frac12\Big)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{1}{2\sqrt{13}+\frac1{2n_i}}. \)

Az \(\displaystyle i\to\infty\) határátmenetből azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \alpha \ge \frac{1}{2\sqrt{13}}. \)

II. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\) számhoz valóban létezik végtelen sok alkalmas pozitív egész \(\displaystyle n\). Az I. részből világos, hogy olyan \(\displaystyle n_i,k_i\) egészeket érdemes keresnünk, amelyekre \(\displaystyle \big|k_i^2-13n_i^2\big|=1\), illetve \(\displaystyle k_i>\sqrt{13}n\); a kettőt összevetve

Az \(\displaystyle x^2-dy^2=1\) diofantikus egyenletet Pell-egyenletnek nevezik, és jól ismert, hogy ha \(\displaystyle d\) pozitív egész, de nem négyzetszám, akkor végtelen sok pozitív egész megoldása van. A \(\displaystyle d=13\) esetben egy lehetséges konstrukció a következő.

Például próbálgatással megtalálhatjuk az \(\displaystyle \big|x^2-13y^2\big|=1\) egyenlet egy megoldását: \(\displaystyle 18^2-13\cdot5^2=-1\). A binomiális tétel szerint kifejtve, a \(\displaystyle (18\pm5\sqrt{13})^{2i}\) számokat felírhatjuk \(\displaystyle k_i\pm\sqrt{13}n_i\) alakban. Ezek szorzata

Mivel \(\displaystyle 0<k_i-\sqrt{13}n_i=\Big(18-5\sqrt{13}\Big)^{2i}<\dfrac12\), az is igaz, hogy \(\displaystyle k_i\) a \(\displaystyle \sqrt{13}n_i\)-hez legközelebbi egész, és \(\displaystyle k_i>\sqrt{13}n_i\).

Ezért a kapott \(\displaystyle k_i,n_i\) pozitív egészekre valóban teljesül, hogy

\(\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| = k_i-\sqrt{13}n_i = \dfrac{k_i^2-13n_i^2}{k_i+\sqrt{13}n_i} < \dfrac{1}{\sqrt{13}n_i+\sqrt{13}n_i} = \frac{\alpha}{n_i}. \)

Tehát, a keresett szám: \(\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\).

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Holló Martin, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Szakács Ábel, Zhai Yu Fan.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai