A B. 5366. feladat (2024. február)

B. 5366. Van-e olyan \(\displaystyle n>1\) összetett egész szám, amely rendelkezik a következő tulajdonsággal: ha \(\displaystyle 1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n\) jelölik \(\displaystyle n\) pozitív osztóit, akkor \(\displaystyle d_i\) osztható \(\displaystyle (d_{i-1}+d_{i-2})\)-vel minden \(\displaystyle 3\leq i\leq k\) esetén?

(IMO 2023/1 módosítása)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy nem létezik ilyen \(\displaystyle n\).

Tegyük fel, hogy egy \(\displaystyle n\) számra teljesülnek a feladat feltételei. Ha \(\displaystyle 3\leq i\leq k\), akkor \(\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}\mid d_i\mid n\), így \(\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}\) is az \(\displaystyle n\) szám egyik osztója. Mivel \(\displaystyle d_{i-1}\)-nél nagyobb, és osztja \(\displaystyle d_i\)-t, ezért csak \(\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}=d_i\) lehetséges. Speciálisan, az összefüggést \(\displaystyle i=k\)-ra alkalmazva (mivel \(\displaystyle n\) összetett szám, így \(\displaystyle k\geq 3\), vagyis a feltétel alkalmazható) \(\displaystyle d_{k-1}+d_{k-2}=d_k=n\), azonban az \(\displaystyle n\) szám második és harmadik osztója legfeljebb \(\displaystyle n/2\), illetve \(\displaystyle n/3\), így \(\displaystyle d_{k-1}+d_{k-2}\leq n/2+n/3=5n/6\) miatt ezzel ellentmondásra jutottunk.

Megjegyzés. A \(\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}=d_i\) összefüggést a kis osztókra használva kapjuk, hogy \(\displaystyle d_3=d_2+d_1=d_2+1\). Itt \(\displaystyle d_2\) az \(\displaystyle n\) összetett szám legkisebb prímosztója, \(\displaystyle d_3\) pedig vagy a második legkisebb prímosztó, vagy a legkisebb prímosztó négyzete. Mivel \(\displaystyle d_2\nmid d_2+1=d_3\), így utóbbi nem lehetséges. Az \(\displaystyle n\) szám két legkisebb prímosztója tehát \(\displaystyle d_2\) és \(\displaystyle d_3=d_2+1\), paritásuk különbözik, így csak \(\displaystyle d_2=2\), \(\displaystyle d_3=3\) lehet. Ezért a 6 is osztó, így biztosan \(\displaystyle 3<k\), így \(\displaystyle d_4=d_3+d_2=5\). Ezzel elletmondásra jutottunk, mert egyrészt \(\displaystyle d_5=6\) kell legyen, hiszen \(\displaystyle 6\mid n\), másrészt a \(\displaystyle d_5=d_4+d_3=8\) összefüggésnek is teljesülnie kellene.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	92 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai