A B. 5366. feladat (2024. február)

B. 5366. Van-e olyan $\displaystyle n>1$ összetett egész szám, amely rendelkezik a következő tulajdonsággal: ha $\displaystyle 1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n$ jelölik $\displaystyle n$ pozitív osztóit, akkor $\displaystyle d_i$ osztható $\displaystyle (d_{i-1}+d_{i-2})$-vel minden $\displaystyle 3\leq i\leq k$ esetén?

(IMO 2023/1 módosítása)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy nem létezik ilyen $\displaystyle n$.

Tegyük fel, hogy egy $\displaystyle n$ számra teljesülnek a feladat feltételei. Ha $\displaystyle 3\leq i\leq k$, akkor $\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}\mid d_i\mid n$, így $\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}$ is az $\displaystyle n$ szám egyik osztója. Mivel $\displaystyle d_{i-1}$-nél nagyobb, és osztja $\displaystyle d_i$-t, ezért csak $\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}=d_i$ lehetséges. Speciálisan, az összefüggést $\displaystyle i=k$-ra alkalmazva (mivel $\displaystyle n$ összetett szám, így $\displaystyle k\geq 3$, vagyis a feltétel alkalmazható) $\displaystyle d_{k-1}+d_{k-2}=d_k=n$, azonban az $\displaystyle n$ szám második és harmadik osztója legfeljebb $\displaystyle n/2$, illetve $\displaystyle n/3$, így $\displaystyle d_{k-1}+d_{k-2}\leq n/2+n/3=5n/6$ miatt ezzel ellentmondásra jutottunk.

Megjegyzés. A $\displaystyle d_{i-1}+d_{i-2}=d_i$ összefüggést a kis osztókra használva kapjuk, hogy $\displaystyle d_3=d_2+d_1=d_2+1$. Itt $\displaystyle d_2$ az $\displaystyle n$ összetett szám legkisebb prímosztója, $\displaystyle d_3$ pedig vagy a második legkisebb prímosztó, vagy a legkisebb prímosztó négyzete. Mivel $\displaystyle d_2\nmid d_2+1=d_3$, így utóbbi nem lehetséges. Az $\displaystyle n$ szám két legkisebb prímosztója tehát $\displaystyle d_2$ és $\displaystyle d_3=d_2+1$, paritásuk különbözik, így csak $\displaystyle d_2=2$, $\displaystyle d_3=3$ lehet. Ezért a 6 is osztó, így biztosan $\displaystyle 3<k$, így $\displaystyle d_4=d_3+d_2=5$. Ezzel elletmondásra jutottunk, mert egyrészt $\displaystyle d_5=6$ kell legyen, hiszen $\displaystyle 6\mid n$, másrészt a $\displaystyle d_5=d_4+d_3=8$ összefüggésnek is teljesülnie kellene.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	92 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai