A B. 5367. feladat (2024. február)

B. 5367. $\displaystyle a)$ Az egységnyi sugarú nyílt körlapban elhelyeztünk egymásra merőlegesen két $\displaystyle \ell$ hosszúságú nyílt szakaszt úgy, hogy a szakaszoknak nincs közös pontjuk. Mennyi lehet $\displaystyle \ell$?

$\displaystyle b)$ Az egységnyi sugarú nyílt gömbben elhelyeztünk három $\displaystyle \ell$ hosszúságú nyílt szakaszt úgy, hogy páronként merőlegesek, és semelyik kettőnek nincs közös pontja. Mennyi lehet $\displaystyle \ell$?

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Nyilvánvalóan mindkét esetben $\displaystyle 0<\ell<2$, hiszen sem a kör, sem a gömb nem tartalmaz az átmérőjénél hosszabb szakaszt, $\displaystyle \ell=2$ esetén pedig a szakaszok a kör, ill. a gömb középpontjában metszenék egymást.

Most rátérünk az a) részre. Legyen a szakaszok tartóegyeneseinek metszéspontja $\displaystyle M$. Először tegyük fel, hogy $\displaystyle M$ nem illeszkedik egyik szakaszra sem. Legyenek a szakaszoknak az $\displaystyle M$-től távolabbi végpontjai $\displaystyle X$, illetve $\displaystyle Y$. Ekkor $\displaystyle MXY$ egy derékszögű háromszög, amelynek derékszögű csúcsa $\displaystyle M$, és amelynek mindkét befogója legalább $\displaystyle \ell$ hosszúságú. A Pitagorasz-tételből következik, hogy $\displaystyle XY\ge \ell \sqrt2$. Másrészt a feltételek szerint $\displaystyle X$-t és $\displaystyle Y$-t a körlap lezártja tartalmazza, ezért $\displaystyle XY\le 2$. Ezekből $\displaystyle \ell \le \sqrt 2$ adódik.

Most tegyük fel, hogy $\displaystyle M$ az elhelyezett $\displaystyle AB$ szakasz egy pontja, a másik szakasz $\displaystyle M$-től távolabbi végpontja legyen $\displaystyle C$. Világos, hogy a második szakaszt $\displaystyle M$ irányába eltolva a körön belül marad, ezért feltehető, hogy a második szakasz éppen $\displaystyle MC$. A feltételek szerint az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körének sugara legfeljebb egységnyi.

Legyen $\displaystyle AB$ felezőpontja $\displaystyle F$, és toljuk el $\displaystyle C$ pontot $\displaystyle \overrightarrow{MF}$-ral, így kapjuk $\displaystyle C'$ pontot. Világos, hogy az $\displaystyle ABC'$ háromszöget is tartalmazza az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt köre (hiszen a $\displaystyle C$ pont $\displaystyle C'F$-re vonatkozó tükörképe rajta van a körvonalon), ezért $\displaystyle ABC'$ körülírt körének sugara is legfeljebb egységnyi. Másrészről $\displaystyle ABC'$ körülírt körének sugara kifejezhető $\displaystyle \ell$ segítségével; az ábra szerint $\displaystyle (\ell/2)^2+x^2=r^2$ és $\displaystyle x+r=\ell$. Ebből $\displaystyle x=\ell-r$-t visszahelyettesítve $\displaystyle r=5\ell/8$ adódik. Innen $\displaystyle r\le 1$ észrevételünk miatt $\displaystyle \ell\le 8/5$.

Mindkét vizsgált esetben teljesül tehát, hogy $\displaystyle \ell\le 8/5$. Könnyen látható, hogy az ábra szerinti elrendezésben $\displaystyle \ell=8/5$ megvalósítható. Továbbá a szakaszokat a megfelelő arányban kicsinyítve a középpontjaikból minden $\displaystyle 0<\ell<8/5$ is megvalósítható. Ezért az a) esetben $\displaystyle 0<\ell\le 8/5$.

Rátérünk a b) részre; megmutatjuk, hogy itt minden $\displaystyle 0<\ell<2$ lehetséges. Rögzítsünk egy $\displaystyle 0<\ell<2$ értéket, legyen

$\displaystyle 0<d=\sqrt{1-(\ell/2)^2}<1,$

és helyezzük el a gömbünket a térbeli derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy közzépontja az origóba essen.

Tekintsük most az $\displaystyle xy$-síkban az $\displaystyle x=d$ egyenletű egyenest, az $\displaystyle yz$-síkban az $\displaystyle y=d$ egyenest; és az $\displaystyle xz$-síkban a $\displaystyle z=d$ egyenletű egyenest. Ezek páronként egymásra merőleges, kitérő egyenesek, amelyek a nyílt gömböt egy-egy nyílt, $\displaystyle \ell$ hosszúságú (és szükségképpen páronként idegen) szakaszban metszik. Ez a példa mutatja, hogy valóban minden $\displaystyle 0<\ell<2$ lehetséges.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai