A B. 5371. feladat (2024. február)

B. 5371. Legyen $\displaystyle P$ pont az $\displaystyle ABC$ háromszög belső pontja. Jelölje a $\displaystyle P$ pont merőleges vetületét a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ és $\displaystyle AB$ oldalakra rendre $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$. Bizonyítsuk be, hogy

$\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}+\frac{PF+PD}{PB}+\frac{PD+PE}{PC}\le 3.$

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a háromszög szögei $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$, továbbá $\displaystyle EAP\sphericalangle=\alpha_1$, $\displaystyle PAF\sphericalangle=\alpha_2$, $\displaystyle FBP\sphericalangle=\beta_1$, $\displaystyle PBD\sphericalangle=\beta_2$ és $\displaystyle DCP\sphericalangle=\gamma_1$, $\displaystyle PCE\sphericalangle=\gamma_2$.

A $\displaystyle PEA$ és $\displaystyle PFA$ derékszögű háromszögekből a $\displaystyle PE$ és $\displaystyle PF$ szakaszok hosszát a $\displaystyle PA$ szakasszal és szinusz szögfüggvénnyel is kifejezhetjük.

$\displaystyle PE+PF=PA(\sin \alpha_1 +\sin \alpha_2).$

A szinuszok összegére vonatkozó addíciós tétel alapján, továbbá felhasználva, hogy a koszinusz szögfüggvény értéke legfeljebb $\displaystyle 1$, kapjuk a következő becslést:

$\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}=\sin \alpha_1 +\sin \alpha_2=2\sin \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\cos\frac{\alpha_1-\alpha_2}{2}\le 2\sin\frac{\alpha}{2}.$

Egyenlőség csak $\displaystyle \alpha_1=\alpha_2$ esetén. Ugyanezzel a módszerrel kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{PF+PD}{PB}\le 2\sin \frac{\beta}{2} \quad \text{és} \quad \frac{PD+PE}{PC}\le 2\sin\frac{\gamma}{2}.$

Alkalmazzuk végül a szinuszfüggvényre és az $\displaystyle \frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ hegyesszögekre a Jensen-egyenlőtlenséget. A szinuszfüggvény a $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2} \right]$ intervallumon konkáv, ezért

$\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}+\frac{PF+PD}{PB}+\frac{PD+PE}{PC}\le 2\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\right) \le 2\cdot 3\cdot \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{6}=3.$

Összességében egyenlőség az első becslésnél a szögfelezők esetében, míg a második becslésnél a szinuszfüggvény szigorú konkávitása miatt csak szabályos háromszög esetén teljesül. Tehát egyenlőség csak abban az esetben igaz, ha a $\displaystyle P$ pont egy $\displaystyle ABC$ szabályos háromszög középpontja.

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baráth Borbála, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Farkas 005 Bendegúz, Farkas Ábel, Forrai Boldizsár, Gábor Benjámin, Görömbey Tamás, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Juhász-Molnár Erik, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Körmöndi Márk, Kővágó Edit Gréta, Molnár István Ádám, Morvai Várkony Albert, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szakács Ábel, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai