A B. 5373. feladat (2024. február)

B. 5373. Legyen $\displaystyle n$ pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle a_{7n}x^{7n}+\dots+a_1x+a_0=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^n$ polinom páratlan együtthatóinak száma legalább 8.

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle h(x)=b_mx^m+\dots +b_1x+b_0$ egy polinom, és $\displaystyle 0\leq i\leq 6$, akkor $\displaystyle S_i(h)$ legyen a $\displaystyle h$ polinom azon együtthatóinak összege, melyekhez tartozó $\displaystyle x$-hatványok kitevője $\displaystyle i$ maradékot ad 7-tel osztva (vagyis $\displaystyle S_i(h)=b_i+b_{i+7}+\dots$ teljesül).

Vegyük észre, hogy ha $\displaystyle g(x)=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)h(x)$, akkor $\displaystyle S_0(g)=S_1(g)=\dots=S_6(g)(=b_m+\dots+b_1+b_0)$, hiszen a $\displaystyle h(x)$-ben szereplő $\displaystyle b_ix^i$ monom $\displaystyle b_i$-vel járul hozzá az $\displaystyle S_0,S_1,\dots,S_6$ összegek mindegyikéhez (minden $\displaystyle i$-re), hiszen az $\displaystyle x^{i+7},x^{i+6},x^{i+5},x^{i+4},x^{i+3},x^{i+2},x^{i+1}$ monomok kitevői teljes maradékrendszert alkotnak modulo 7.

Az előbbi észrevételt ismételten használva kapjuk, hogy az $\displaystyle f(x)=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^n$ polinomra

$\displaystyle S_0(f)=S_1(f)+1=S_2(f)+1=S_3(f)+1=S_4(f)+1=S_5(f)+1=S_6(f)+1,$

ugyanis a binomiális tétel alapján

$\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^i,$

ahol az $\displaystyle i=0$-hoz tartozó (1-et adó) tag kivételével az összegzésben szereplő mindegyik polinom osztható $\displaystyle (x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)$-szel, így egyformán járulnak hozzá az $\displaystyle S_i$ összegekhez, az $\displaystyle i=0$-nál kapott 1-et pedig $\displaystyle S_0$-ban számoljuk.

Mivel $\displaystyle f$ együtthatóinak összege $\displaystyle 8^n$, így $\displaystyle S_1(f)=\dots=S_6(f)=\frac{8^n-1}{7}$ és $\displaystyle S_0(f)=\frac{8^n-1}{7}+1$. Tehát $\displaystyle S_1,\dots,S_6$ páratlanok, ami azt is jelenti, hogy minden $\displaystyle 1\leq i\leq 6$ esetén kell lennie (páratlan sok) olyan együtthatónak $\displaystyle f$-ben, amelyhez tartozó $\displaystyle x$-hatvány kitevője $\displaystyle i$ maradékot ad 7-tel osztva. Ez eddig legalább hat páratlan együtthatót jelent. Világos, hogy $\displaystyle a_{7n}=a_0=1$, így találtunk még legalább két páratlan együtthatót, ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Ha az $\displaystyle n$ szám 2-hatvány, akkor a páratlan együtthatók száma pontosan 8. Ennek igazolásához elég belátni, hogy ha egy egész együtthatós polinomban pontosan 8 páratlan együttható van, akkor ez a négyzetére is teljesül. Egy $\displaystyle b_mx^m+\dots+b_1x+b_0$ polinom négyzetre emelésekor a $\displaystyle 2b_ib_jx^{i+j}$ kettős szorzatok ($\displaystyle i<j$) együtthatója 2, így egyik együttható paritásán sem változtatnak, a tagok négyzete, vagyis a $\displaystyle b_i^2x^{2i}$ alakú tagok pedig 8 páratlan együtthatót adnak, ha a $\displaystyle b_i$ együtthatók között 8 páratlan volt.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Aravin Peter, Bodor Mátyás, Holló Martin, Szakács Ábel.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Keresztély Zsófia, Virág Lénárd Dániel.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai