A B. 5375. feladat (2024. március)

B. 5375. Oldjuk meg a nemnegatív egész számpárok halmazán az \(\displaystyle (m-k)^{2}=m+k\) egyenletet.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az

\(\displaystyle m^2 -(2k+1)m + (k^2-k) = 0 \)

alakba írva \(\displaystyle m\)-re másodfokú (paraméteres) egyenletet kapunk, melynek diszkriminánsa \(\displaystyle (2k+1)^2 - 4(k^2-k) = 8k+1\). Ha létezik \(\displaystyle m\)-re racionális megoldás, akkor \(\displaystyle 8k+1\) egy racionális szám négyzete; ha \(\displaystyle k\) is egész, akkor \(\displaystyle 8k+1 = v^2\) egy egész szám négyzete. Innen

\(\displaystyle k = \dfrac{v^2-1}{8}. \)

Itt \(\displaystyle k\) pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle v=2t+1\) páratlan, és ekkor

\(\displaystyle k = \dfrac{(2t+1)^2-1}{8} = \dfrac{t(t+1)}{2}, \)

ennek függvényében pedig a paraméteres másodfokú egyenlet megoldása \(\displaystyle m\)-re:

\(\displaystyle m = \dfrac{1}{2}\cdot (2k+1 \pm \sqrt{8k+1}) = \dfrac{1}{2}\cdot (t^2+t+1 \pm (2t+1) ) = \begin{cases} \frac{1}{2}\cdot (t^2+3t+2) = \frac{1}{2}\cdot (t+1)(t+2), \ \text{vagy} \\ \frac{1}{2}\cdot (t^2-t) = \frac{1}{2}\cdot t(t-1). \end{cases} \)

Az \(\displaystyle m\)-re és \(\displaystyle k\)-ra kapott fenti kifejezések minden \(\displaystyle t\) egészre nemnegatív egészeket adnak, amelyek megoldásai az eredeti egyenletnek.

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	74 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai