 |
A B. 5376. feladat (2024. március) |
B. 5376. Tekintsük a pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, és osszuk el maradékosan az összes nála kisebb pozitív egésszel. Jelölje \(\displaystyle f(n)\) az osztás során fellépő osztási maradékok összegét. (Például \(\displaystyle n=5\) esetén a maradékok \(\displaystyle 1\)-gyel, \(\displaystyle 2\)-vel, \(\displaystyle 3\)-mal és \(\displaystyle 4\)-gyel osztva rendre: \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\), azaz \(\displaystyle f(5)=4\).)
Oldjuk meg az \(\displaystyle f(n)=n\) egyenletet.
Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle n\) szám felétől kezdve általában sok olyan szám jön, ami nem \(\displaystyle 0\) maradékot ad.
– Ha \(\displaystyle n=2k\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle (k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k-1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k-1)}{2} > n=2k\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{k(k-5)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>5\) (azaz \(\displaystyle n=10\) fölött).
– Ha pedig \(\displaystyle n=2k+1\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle k+(k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k+1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k+1)}{2} > 2k+2>n=2k+1\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{(k-4)(k+1)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>4\) (azaz \(\displaystyle n=9\)-nél, vagy afölött).
Vagyis az egyenlet \(\displaystyle n>10\) esetén nem teljesülhet, így elég néhány esetet végignézni. Ezekre az \(\displaystyle n\)-ekre a következő táblázat adja meg \(\displaystyle f(n)\)-et:
| \(\displaystyle n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| \(\displaystyle f(n)\) | 0 | 0 | 1 | 1 | 4 | 3 | 8 | 8 | 12 | 13 |
Azaz egyetlen megoldása van az egyenletnek, és ez \(\displaystyle n=8\).
Statisztika:
100 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 73 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai