A B. 5376. feladat (2024. március)

B. 5376. Tekintsük a pozitív egész $\displaystyle n$ számot, és osszuk el maradékosan az összes nála kisebb pozitív egésszel. Jelölje $\displaystyle f(n)$ az osztás során fellépő osztási maradékok összegét. (Például $\displaystyle n=5$ esetén a maradékok $\displaystyle 1$-gyel, $\displaystyle 2$-vel, $\displaystyle 3$-mal és $\displaystyle 4$-gyel osztva rendre: $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ és $\displaystyle 1$, azaz $\displaystyle f(5)=4$.)

Oldjuk meg az $\displaystyle f(n)=n$ egyenletet.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyük észre, hogy az $\displaystyle n$ szám felétől kezdve általában sok olyan szám jön, ami nem $\displaystyle 0$ maradékot ad.

– Ha $\displaystyle n=2k$, akkor $\displaystyle n$-nek a $\displaystyle k+1$-gyel, $\displaystyle k+2$-vel, ... , $\displaystyle n-1$-gyel vett osztási maradékainak az összege: $\displaystyle (k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k-1)}{2}$. Továbbá ez az összeg, $\displaystyle \dfrac{k(k-1)}{2} > n=2k$, ha (rendezve az egyenlőtlenséget) $\displaystyle \dfrac{k(k-5)}{2} > 0$, azaz ha $\displaystyle k>5$ (azaz $\displaystyle n=10$ fölött).

– Ha pedig $\displaystyle n=2k+1$, akkor $\displaystyle n$-nek a $\displaystyle k+1$-gyel, $\displaystyle k+2$-vel, ... , $\displaystyle n-1$-gyel vett osztási maradékainak az összege: $\displaystyle k+(k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k+1)}{2}$. Továbbá ez az összeg, $\displaystyle \dfrac{k(k+1)}{2} > 2k+2>n=2k+1$, ha (rendezve az egyenlőtlenséget) $\displaystyle \dfrac{(k-4)(k+1)}{2} > 0$, azaz ha $\displaystyle k>4$ (azaz $\displaystyle n=9$-nél, vagy afölött).

Vagyis az egyenlet $\displaystyle n>10$ esetén nem teljesülhet, így elég néhány esetet végignézni. Ezekre az $\displaystyle n$-ekre a következő táblázat adja meg $\displaystyle f(n)$-et:

Azaz egyetlen megoldása van az egyenletnek, és ez $\displaystyle n=8$.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai