A B. 5377. feladat (2024. március)

B. 5377. Határozzuk meg azoknak a \(\displaystyle p\) valós számoknak a halmazát, amelyekre

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2-ab}+ \sqrt{b^2+c^2-bc}\geq \sqrt{a^2+c^2-p\cdot ac} \)

teljesül minden pozitív valós \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármas esetén, ahol a kifejezések értelmezve vannak.

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy a kifejezés a koszinusztételre emlékeztet: \(\displaystyle x^2+y^2-2xy\cos(60^{\circ})=z^2\) teljesül egy \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) oldalú háromszögben, ahol \(\displaystyle z\)-vel szemben \(\displaystyle 60^{\circ}\) van.

Ez motivál arra, hogy felvegyük az \(\displaystyle O\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontokat a síkon úgy, hogy

\(\displaystyle OA = a, OB = b \text{ és } OC = c, \)

illetve

\(\displaystyle AOB \sphericalangle = BOC \sphericalangle = 60^{\circ} \text{ és } AOC \sphericalangle = 120^{\circ}. \)

Ekkor a koszinusztétel szerint

\(\displaystyle AB = \sqrt{a^2+b^2-ab}, \quad BC = \sqrt{b^2+c^2-bc}, \quad AC = \sqrt{a^2+c^2+ac}. \)

A háromszög-egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle AB + BC \geq AC \), ebből \(\displaystyle p \geq -1\) esetén

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2-ab} + \sqrt{b^2+c^2-bc} \geq \sqrt{a^2+c^2+ac} \geq \sqrt{a^2+c^2-p \cdot ac}. \)

\(\displaystyle p < -1\) esetén ugyanakkor lehet olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármast találni, amelyre nem teljesül az egyenlőtlenség. Válasszuk az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számokat úgy, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok egy egyenesre essenek, például \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=1\), \(\displaystyle c=2\). Ekkor

\(\displaystyle \sqrt{2^2+1^2-2 \cdot 1} + \sqrt{1^2+2^2-1 \cdot 2} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{12} = \sqrt{2^2+2^2+2 \cdot 2} < \sqrt{2^2+2^2-p \cdot 2 \cdot 2}. \)

Tehát a keresett \(\displaystyle p\) értékek halmaza a \(\displaystyle [-1,\infty)\) intervallum.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baráth Borbála, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Farkas 005 Bendegúz, Fekete Aron, Fórizs Emma, Forrai Boldizsár, Görömbey Tamás, Holló Martin, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Németh Bernát, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Szabó 721 Sámuel, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Wágner Márton.
3 pontot kapott:	Christ Miranda Anna, Horák Zsófia, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Nagypál Katóca, Petrányi Lilla, Sárdinecz Dóra, Szabó Imre Bence, Vigh 279 Zalán.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai