 |
A B. 5379. feladat (2024. március) |
B. 5379. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsánál derékszög van. A \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonal és szögfelező talppontja az \(\displaystyle AB\) átfogón \(\displaystyle H\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AHC\) szög felezője az \(\displaystyle AC\) oldalt az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle CHB\) szög szögfelezője pedig a \(\displaystyle BC\) oldalt az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Jelöljük ki a \(\displaystyle HE\) szakaszon az \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle HF\) szakaszon pedig az \(\displaystyle N\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle HM: HE= HN : HF\) teljesüljön. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BN\) egyenesek egy ponton mennek át.
Javasolta: Nguyen Duy Khanh (Vietnám)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle P=AM\cap BN\), és jelölje \(\displaystyle d(X,YZ)\) az \(\displaystyle X\) pont és az \(\displaystyle YZ\) egyenes (előjeles) távolságát; azt kell igazolni, hogy \(\displaystyle P\) rajta van az \(\displaystyle ACB\) szögfelezőjén, vagyis \(\displaystyle d(P,BC)=d(P,CA)\).
Legyen \(\displaystyle x=\dfrac{ME}{HE}=\dfrac{HN}{HF}\), ekkor
$$\begin{gather*} \dfrac{d(P,AC)}{d(P,AB)} = \dfrac{d(M,AC)}{d(M,AB)} = \dfrac{d(M,AC)}{d(M,HC)} = \dfrac{x\cdot d(H,AC)}{(1-x)\cdot d(E,HC)} = \dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{d(H,AC)}{d(E,HC)}. \end{gather*}$$Az első egyenlőségnél azt használtuk ki, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle P\) pontok kollineárisak; a másodiknál, hogy \(\displaystyle MH\) felezi a \(\displaystyle CHA\) szöget; a harmadiknál pedig a párhuzamos szelőszakaszok tételét alkalmaztuk kétszer. Hasonlóan, de a második lépést kihagyva láthatjuk be, hogy
\(\displaystyle \dfrac{d(P,BC)}{d(P,AB)}=\dfrac{d(N,BC)}{d(N,AB)}=\dfrac{x\cdot d(H,BC)}{(1-x)\cdot d(F,AB)}=\dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{d(H,BC)}{d(F,AB)}.\)
Végül vegyük észre, hogy az a \(\displaystyle H\) körüli forgatva nyújtás, ami a \(\displaystyle BCH\) háromszöget a \(\displaystyle CAH\) háromszögbe viszi, egyúttal \(\displaystyle E\)-t \(\displaystyle F\)-be viszi. Mivel a hasonlóság megtartja a megfelelő szakaszok arányát, így
\(\displaystyle \dfrac{d(H,AC)}{d(E,HC)}=\dfrac{d(H,BC)}{d(F,AB)}.\)
Az eddigiek összevetéséből
\(\displaystyle \dfrac{d(P,AC)}{d(P,AB)}=\dfrac{d(P,BC)}{d(P,AB)}\)
adódik, tehát valóban \(\displaystyle d(P,AC)=d(P,BC)\). Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Statisztika:
42 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ali Richárd, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Farkas 005 Bendegúz, Fórizs Emma, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Miklós Janka, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Zhai Yu Fan. 4 pontot kapott: Baráth Borbála, Forrai Boldizsár, Kerekes András, Virág Lénárd Dániel. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai